利用比较判别法证明级数∑ₙ=0^∞ [log(1+n)/n²]收敛的问题

嘿，我明白你现在卡在这儿了——想用比较判别法证明这个级数收敛，但选的$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$比目标级数小，完全起不到判别作用对吧？别着急，咱们换个思路来选对比级数，核心就是利用对数函数的增长速度远慢于任何正次幂多项式这个关键特性。

首先先纠正个小细节：原级数从n=0开始的话，第一项$\frac{\log(1+0)}{0^{2}$是无意义的，所以实际应该是从n=1开始的$\sum_{n=1}}{\infty} \frac{\log(1+n)}{n^2}$，这不影响整体收敛性的判断。

具体步骤： #

• 先回忆一个重要结论：对任意小的正数$\epsilon$（比如取$\epsilon=\frac{1}{2}$），当n足够大时，$\log(1+n) < n^\epsilon$。这个结论可以用洛必达法则验证：
  $$\lim_{n\to\infty} \frac{\log(1+n)}{n^\epsilon} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{1+n}}{\epsilon n^{\epsilon-1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\epsilon(1+n)n^{\epsilon-1}} = 0$$
  这说明当n趋向无穷时，$\log(1+n)$的增长速度远远落后于$n^\epsilon$，所以存在某个正整数N，当n>N时，$\log(1+n) < n^\epsilon$成立。
• 基于这个结论，我们选对比级数为$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{{2-\epsilon}}$，比如取$\epsilon=\frac{1}{2}$，对比级数就是$\sum_{n=1}}{\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$——这是一个p级数，当p=$\frac{3}{2}>1$时，级数是收敛的。
• 当n>N时，我们有：
  $$\frac{\log(1+n)}{n^2} < \frac{n^\epsilon}{n2} = \frac{1}{n^{2-\epsilon}}$$
  因为级数的收敛性只由无穷多项决定，前面有限项（n≤N）不影响收敛性，所以根据比较判别法：大的收敛级数对应的小的级数也收敛，因此原级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log(1+n)}{n^2}$收敛。

更简便的极限形式比较判别法： #

如果你觉得找N有点麻烦，也可以用极限形式的比较判别法：
计算目标级数和收敛p级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$的项的比值极限：
$$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{\log(1+n)}{n^{2}}{\frac{1}{n}{\frac{3}{2}}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\log(1+n)}{\sqrt{n}} = 0$$
因为这个极限是0，且$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$收敛，所以原级数必然收敛。

这样是不是就找到合适的对比级数啦？核心就是利用对数增长远慢于多项式的特性，给分母“降一点阶”，就能找到收敛的对比级数了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Walter