函子的定义是什么？函子是否属于函数范畴？

嘿，很高兴你能从二元关系的严谨角度理解函数——这种摆脱模糊术语的定义确实让人心里踏实！那咱们来聊聊函子，它其实是函数在范畴论这个更抽象层面上的“进阶版本”，但和普通函数又有着本质的不同。

先铺垫：范畴的基本概念 #

要理解函子，得先知道范畴是什么：简单来说，一个范畴包含两类核心东西：

• 对象：可以是任何你能想到的“结构化集合”（比如集合、群、拓扑空间），甚至可以是更抽象的概念；
• 态射：对象之间的“结构保持映射”（比如集合之间的函数、群之间的同态、拓扑空间之间的连续映射），而且态射有复合运算，还有每个对象对应的恒等态射（比如集合上的恒等函数）。

函子的严格定义 #

一个从范畴$\mathcal{C}$到范畴$\mathcal{D}$的函子$F$，需要满足两个核心部分，同时严格保持范畴的结构：

1. 对象映射：对$\mathcal{C}$里的每一个对象$X$，指派$\mathcal{D}$里的一个对象$F(X)$——这一步看起来有点像普通函数对集合元素的指派，但这里的“元素”是范畴里的对象（比集合元素抽象得多）。
2. 态射映射：对$\mathcal{C}$里的每一个态射$f: X \rightarrow Y$，指派$\mathcal{D}$里的一个态射$F(f): F(X) \rightarrow F(Y)$——这是函子和普通函数最关键的区别：它不仅映射“东西”，还要映射“东西之间的关系/映射”。

除此之外，函子必须遵守两个“结构保持”的规则：

• 恒等态射保持：对$\mathcal{C}$里的任意对象$X$，$F(\text{id}X) = \text{id}{F(X)}$（$\text{id}_X$是$X$上的恒等态射，函子把它映射成$F(X)$上的恒等态射）；
• 复合态射保持：对$\mathcal{C}$里的两个可复合态射$f: X \rightarrow Y$和$g: Y \rightarrow Z$，$F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$（态射复合的顺序在映射后依然严格对应）。

函子是函数吗？ #

答案是：不是普通意义上的函数，但可以看作是一种“高阶映射”。

• 普通函数是集合元素之间的映射，只处理“元素”这一层；
• 函子是范畴之间的结构保持映射，它同时处理“对象”和“态射”两层，而且必须严格维护范畴的核心结构（恒等和复合）。

当然，如果你把范畴的对象单独抽出来看作一个集合，那函子对对象的映射部分确实有点像集合之间的函数，但函子的态射映射部分是普通函数完全没有的——这也是函子能刻画“结构之间的关系”的核心能力。

举个直观的例子 #

比如集合范畴$\text{Set}$到自身的幂集函子$P$：

• 对象映射：对每个集合$X$，$P(X)$是$X$的所有子集构成的集合（幂集）；
• 态射映射：对每个函数$f: X \rightarrow Y$，$P(f)$是把$X$的子集$S$映射到$Y$的子集${f(s) | s \in S}$的函数；
• 验证结构保持：$P(\text{id}_X)$就是幂集上的恒等函数，$P(g \circ f)$和$P(g) \circ P(f)$都是把$X$的子集映射到$Z$的子集的同一个函数，完全符合函子的规则。

再比如遗忘函子：从群范畴$\text{Grp}$到集合范畴$\text{Set}$，它把每个群映射成它的底层集合（忘掉群的运算结构），把每个群同态映射成对应的集合函数——这也是个函子，因为同态的恒等和复合都被完美保持了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者soap