证明有限个紧集的并集是紧集（基于闭且有界定义）

先把我们能用的定义再明确一遍，避免混淆：

• 闭集：如果一个集合包含它所有的极限点，那它就是闭集；
• 有界集：如果能找到一个正实数$R$，让整个集合都装进以原点为中心、$R$为半径的开球$B_R(0)$里，那它就是有界集；
• 紧集：同时满足上面两个条件（闭且有界）的集合——这是我们唯一能用来推导的紧集定义，不能用有限子覆盖那套哦。

接下来分两步走，只要证明有限个紧集的并集既是闭集又是有界集，那它就是紧集了。

第一步：先证并集是有界集 #

假设我们有$n$个紧集$A_1, A_2, ..., A_n$，它们的并集记为$U = \bigcup_{i=1}^n A_i$。

因为每个$A_i$都是紧集，所以每个$A_i$都有界：

• 对$A_1$，能找到$R_1>0$，让$A_1$完全在$B_{R_1}(0)$里；
• 对$A_2$，能找到$R_2>0$，让$A_2$完全在$B_{R_2}(0)$里；
• ...
• 对$A_n$，能找到$R_n>0$，让$A_n$完全在$B_{R_n}(0)$里。

现在取$R$等于这些$R_1$到$R_n$里最大的那个，显然$R$是个正实数。随便挑$U$里的一个点$x$，它肯定属于某个$A_i$，而$A_i$在$B_{R_i}(0)$里，$R_i$又不超过$R$，所以$x$肯定也在$B_R(0)$里。这样整个$U$就都装在$B_R(0)$里了，说明$U$是有界集。

第二步：再证并集是闭集 #

我们要证明$U$包含它所有的极限点。这里用反证法会更顺：

假设$x$是$U$的一个极限点，但$x$不在$U$里——那意味着$x$不属于任何一个$A_i$（毕竟$U$是所有$A_i$的并）。

因为每个$A_i$都是紧集，所以每个$A_i$都是闭集。而闭集的补集是开集（这个结论可以从闭集的定义推出来：如果一个集合是闭集，那补集里的点都不是它的极限点，也就是说每个补集里的点都有一个邻域和原集合完全不交，所以补集是开集）。

那$x$在每个$A_i$的补集里，每个补集又是开集，所以对每个$A_i$，都能找到一个$\epsilon_i>0$，让开球$B_{\epsilon_i}(x)$和$A_i$完全不相交。

现在取$\epsilon$等于这些$\epsilon_1$到$\epsilon_n$里最小的那个，$\epsilon$肯定是正的。那这个$B_\epsilon(x)$就会和所有$A_i$都不相交（因为$\epsilon$比每个$\epsilon_i$都小，$B_\epsilon(x)$是$B_{\epsilon_i}(x)$的子集），也就意味着$B_\epsilon(x)$和$U$完全不相交——但这和$x$是$U$的极限点矛盾啊！极限点的定义是不管取多小的邻域，里面都得有$U$里不等于$x$的点。

所以假设不成立，$x$必须在$U$里。这就说明$U$包含了所有的极限点，$U$是闭集。

最后结论 #

既然$U$既是闭集又是有界集，按照我们的紧集定义，$U$就是紧集啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者D.C. the III