求W=V²/R的期望与方差：V、R服从均匀分布的技术问询

嘿，这个问题我来帮你理清楚！首先你说得完全对，单个随机变量确实没有协方差的说法，推测题目实际要求的是W的方差没问题。咱们先明确一个关键前提：通常这类题目如果没特别说明，会默认V和R是相互独立的随机变量，这是咱们后续计算的核心基础。

一、计算期望E(W) #

已知 ( W = \frac{V^2}{R} )，因为V和R独立，根据期望的性质，独立随机变量函数的期望可以拆分为各自期望的乘积：
[ E(W) = E\left(\frac{V^2}{R}\right) = E(V^2) \times E\left(\frac{1}{R}\right) ]

1. 计算E(V²) #

V服从均匀分布 ( U(10,20) )，对于均匀分布 ( U(a,b) )，我们可以用方差和期望的关系来计算二阶矩：

• 期望 ( E(V) = \frac{10+20}{2} = 15 )
• 方差 ( Var(V) = \frac{(20-10)^2}{12} = \frac{25}{3} )
• 根据公式 ( E(V^2) = Var(V) + [E(V)]^2 )，代入得：
  [ E(V^2) = \frac{25}{3} + 15^2 = \frac{25}{3} + 225 = \frac{700}{3} \approx 233.33 ]

2. 计算E(1/R) #

R服从均匀分布 ( U(1,2) )，其概率密度函数为 ( f_R(r) = 1 )（当 ( 1 \leq r \leq 2 )），直接通过积分计算期望：
[ E\left(\frac{1}{R}\right) = \int_{1}^{2} \frac{1}{r} \times 1 , dr = \ln r \bigg|_{1}^{2} = \ln2 - \ln1 = \ln2 \approx 0.693 ]

3. 合并得到E(W) #

[ E(W) = \frac{700}{3} \times \ln2 \approx 233.33 \times 0.693 \approx 161.7 ]

二、计算方差Var(W) #

方差的计算公式为 ( Var(W) = E(W^2) - [E(W)]^2 )，其中 ( W^2 = \frac{V^4}{R2} )，同样利用独立性拆分：
[ E(W^2) = E\left(\frac{V^4}{R2}\right) = E(V^4) \times E\left(\frac{1}{R^2}\right) ]

1. 计算E(V⁴) #

对于均匀分布 ( U(a,b) )，k阶原点矩的公式为 ( E(V^k) = \frac{b^{k+1} - a^{k+1}}{(k+1)(b-a)} )，代入k=4，a=10，b=20：
[ E(V^4) = \frac{20^5 - 10^5}{5 \times (20-10)} = \frac{3200000 - 100000}{50} = 62000 ]

2. 计算E(1/R²) #

同样通过积分计算：
[ E\left(\frac{1}{R^2}\right) = \int_{1}^{2} \frac{1}{r^2} \times 1 , dr = -\frac{1}{r} \bigg|_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-1\right) = \frac{1}{2} = 0.5 ]

3. 合并计算Var(W) #

首先算 ( E(W^2) = 62000 \times 0.5 = 31000 )
然后代入方差公式：
[ Var(W) = 31000 - \left( \frac{700}{3} \ln2 \right)^2 \approx 31000 - 161.7^2 \approx 31000 - 26146.89 = 4853.11 ]

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Flama