设p为素数，求证方程2/p=1/x+1/y存在0<x<y的整数解及推导疑问

你的思路方向有点绕啦，不如换个更直接的代数变形路径，咱们一步步推导：

首先把原方程通分去分母：

$2/p = 1/x + 1/y$

交叉相乘后得到核心等式：
2xy = p(x + y)

接下来用**因式分解技巧（SFFT）**整理这个式子，把含x、y的项凑成乘积形式：
先移项得到：$2xy - px - py = 0$
为了凑因式，两边同时加上 $p^2$（等价于先乘2再加 $p^2$，结果一致），左边可以分解为：
(2x - p)(2y - p) = p²

因为p是素数，$p²$的正整数因子对只有两组：$(1, p²)$ 和 $(p, p)$。负因子对解出来的y会是负数，不符合$0<x<y$的要求，所以只看正因子情况：

• 取因子对 $(1, p²)$：
  由 $2x - p = 1$ 解得 $x = (p + 1)/2$；
  由 $2y - p = p²$ 解得 $y = (p² + p)/2 = p(p+1)/2$。

  这里验证整数性：除了p=2以外，所有素数都是奇数，$p+1$是偶数，所以x是整数；y显然是整数。
  单独看p=2的情况：原方程变为$1 = 1/x + 1/y$，尝试找$0<x<y$的解时，x必须小于2（否则$1/x ≤ 1/2$，无法满足和为1），但x=1时方程无解，x=2时y=2，不满足$x<y$，所以p=2是特殊例外，通常数论问题讨论这类等式时会默认p为奇素数。

• 验证$x<y$：
  对于奇素数p，$x=(p+1)/2$，$y=p(p+1)/2$，显然$y = p \times x$，而p≥3，所以$x<y$必然成立。

举两个实例验证：

• p=3时，x=2，y=6，代入得$2/3 = 1/2 + 1/6$，等式成立；
• p=5时，x=3，y=15，代入得$2/5 = 1/3 + 1/15$，等式成立。

你之前尝试用非最简分数分析的思路其实可以衔接：从$2xy=p(x+y)$能看出xy必须是p的倍数，但直接凑因式分解会比分析公约数更高效哦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gerard L.