两名独立客户均匀分布到达时间的首/末次到达期望时间求解

嘿，这个用质心来解的思路真的很有意思！我来一步步给你拆解清楚：

首先我们先做个时间转换，把下午2点设为时间原点t=0，下午8点就是t=6（这样总时长6小时，方便计算）。两个客户的到达时间是在[0,6]上独立均匀分布的随机变量，我们用x表示较晚到达的时间，y表示较早到达的时间，那么对应的区域就是直角三角形：0 ≤ y ≤ x ≤ 6，这个三角形的面积是(6×6)/2 = 18。

因为两个客户的到达时间是独立均匀分布的，所以在这个三角形区域内的联合概率分布是均匀的——这就意味着，随机变量(x,y)的期望坐标，正好就是这个三角形的质心坐标！

接下来我们分别计算两个问题：

我们需要求的是较早到达时间y的期望，也就是质心的y坐标。

用积分计算的话：

E[y] = (1/三角形面积) × ∫(x=0到6) ∫(y=0到x) y dy dx

先算内层积分：∫(y=0到x) y dy = [y²/2]₀ˣ = x²/2
再算外层积分：∫(x=0到6) x²/2 dx = (1/2)×[x³/3]₀⁶ = (1/2)×72 = 36
最后除以面积18：36/18 = 2

转换回实际时间：2点 + 2小时 = 下午4点，也就是较早到达的期望时间是下午4点。

这次求的是较晚到达时间x的期望，也就是质心的x坐标。

同样用积分计算：

E[x] = (1/三角形面积) × ∫(x=0到6) ∫(y=0到x) x dy dx

内层积分：∫(y=0到x) x dy = x×(x-0) = x²
外层积分：∫(x=0到6) x² dx = [x³/3]₀⁶ = 72
除以面积18：72/18 = 4

转换回实际时间：2点 + 4小时 = 下午6点，也就是较晚到达的期望时间是下午6点。

另外补充个小验证：用常规概率方法计算，结果和质心方法完全一致，说明这个思路是完全可行的！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者KiWiJuice