证明函数连续性与直径极限的等价性（分析学）

嘿，你的思路完全正确！咱们可以从函数单调性和实数的基本性质入手，一步步证明$\lim_{r\to 0^+} A_{f,x} (r)$存在，甚至还能顺便把你提到的连续性等价命题也理清楚：

首先回忆直径的定义：
$$\text{diam}(S) = \sup\left{ |f(u)-f(v)| \mid u,v \in S \right}$$
因为$f$是$[a,b]$上的有界函数，所以这个直径对任意$r>0$都是有限实数。

接下来观察$r$变化时的区间包含关系：当$0 < r_1 < r_2$时，
$$(x-r_1,x+r_1) \cap [a,b] \subset (x-r_2,x+r_2) \cap [a,b]$$
函数值集合的子集的直径不会超过原集合的直径（毕竟上确界是在更小的集合上取的，不可能变大），因此：

当$0 < r_1 < r_2$时，$A_{f,x}(r_1) \leq A_{f,x}(r_2)$

换句话说，$A_{f,x}(r)$是关于$r$的非增函数——$r$越小，这个直径值不会变大。

因为直径本身是非负的（$\text{diam}(S) \geq 0$对任何非空集合$S$都成立），所以$A_{f,x}(r)$有一个天然的下界$0$。

根据Baby Rudin里讲过的单调收敛定理（或者直接用实数集的确界原理：有下界的非增函数必有下确界，且当自变量从右侧趋近于0时，函数值会收敛到这个下确界），我们可以直接得出：
$$\lim_{r\to 0^+} A_{f,x}(r) = \inf\left{ A_{f,x}(r) \mid r > 0 \right}$$
这就证明了这个极限一定存在。

既然你最初的命题是连续性等价于这个极限为0，这里也快速理一下逻辑：

• 必要性（连续$\implies$极限为0）：如果$f$在$x$处连续，那么对任意$\epsilon>0$，存在$\delta>0$，当$y \in (x-\delta,x+\delta)\cap[a,b]$时，$|f(y)-f(x)| < \epsilon/2$。此时对任意$r < \delta$，$(x-r,x+r)\cap[a,b]$内的任意两点$u,v$，有：
  $$|f(u)-f(v)| \leq |f(u)-f(x)| + |f(x)-f(v)| < \epsilon$$
  所以$A_{f,x}(r) \leq \epsilon$，即$\lim_{r\to0^+}A_{f,x}(r)=0$。
• 充分性（极限为0$\implies$连续）：如果$\lim_{r\to0^+}A_{f,x}(r)=0$，那么对任意$\epsilon>0$，存在$\delta>0$，当$r < \delta$时，$A_{f,x}(r) < \epsilon$。此时对任意$y \in (x-\delta,x+\delta)\cap[a,b]$，$|f(y)-f(x)| \leq A_{f,x}(\delta) < \epsilon$，满足连续的定义。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dominated Convergence Theorem