关于施瓦西度规克鲁斯卡尔延拓的直观理解探讨

施瓦西度规虽然在$r=2M$和$r=0$处存在奇异性，但相对来说还算容易可视化。当我们完成克鲁斯卡尔延拓后，就能解锁流形里的全新区域——其中就包括被称为白洞的特殊区域；如果取$t=$常数的时空切片，还能得到著名的爱因斯坦-罗森桥。

下面我来聊聊自己从数学层面对克鲁斯卡尔延拓的理解（要是有说错的地方，恳请大家指正）：
从爱因斯坦场方程求解时，我们通常会先考虑具有特定对称性的解，比如球对称、静态的情况，施瓦西度规就是这类解的典型代表。不过原始的施瓦西坐标系在$r=2M$处存在坐标奇异性（并非真正的时空奇点，只是坐标系本身的局限性导致的），这就像一张地图只画了半个地球，限制了我们对整个时空结构的完整认知。

克鲁斯卡尔延拓的核心，就是通过坐标变换把这个坐标奇点“抹平”，从而得到一个能覆盖整个时空流形的坐标系。具体来说，我们会引入克鲁斯卡尔-塞克雷斯坐标$(U,V)$，先借助“龟坐标”重新定义径向和时间坐标，再通过一系列变换，把施瓦西度规转化为更简洁的形式：
$$ds^2 = \frac{32M^3}{r} e^{-r/(2M)} dU dV - r^2(d\theta2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$
这里的$r$是$U$和$V$的隐函数，满足$UV = -\left(\frac{r}{2M} - 1\right)e^{r/(2M)}$。

通过这个延拓，我们能看到原来施瓦西坐标系没覆盖到的几个关键区域：

• 除了我们熟悉的外部区域（$r>2M$）和黑洞内部（$0<r<2M$），还出现了一个对称的白洞区域（对应过去的奇点，物质只能从这里向外喷发，和黑洞的“吞噬”行为完全相反），以及另一个和我们所在宇宙对称的外部宇宙。
• 当取$t=$常数的时空切片时，连接两个外部宇宙的狭窄通道就是爱因斯坦-罗森桥，也就是大家常说的“虫洞”——不过要注意，这个虫洞是瞬态的，没办法稳定存在，所以现实中没法用它来穿越宇宙。

以上就是我对克鲁斯卡尔延拓的一点理解，要是有疏漏或者错误的地方，欢迎各位同行大佬指正补充！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rajath Radhakrishnan