为何对c>0，Pr(|X-E(X)|≥c)=Pr(|X-E(X)|²≥c²)？

这个问题其实核心在于事件的等价性——概率是对「事件发生可能性」的度量，如果两个事件是完全等价的（即“当且仅当”成立），那它们的概率必然相等。我们一步步拆解来看：

首先简化符号，令 Y = |X - E(X)|，根据绝对值的定义，Y 是非负随机变量（即 Y ≥ 0 恒成立），同时题目明确 c > 0，这两个前提是关键。

现在对比两个事件：

• 事件A：Y ≥ c（对应原问题的 ( |X-E(X)| \geq c )）
• 事件B：Y² ≥ c²（对应原问题的 ( |X-E(X)|² ≥ c² )）

我们可以证明这两个事件完全等价：

1. 若事件A发生（Y ≥ c）：因为 Y ≥ 0 且 c > 0，平方函数在非负区间是单调递增的，因此两边平方后不等号方向不变，可得 Y² ≥ c²，即事件B必然发生；
2. 若事件B发生（Y² ≥ c²）：同样因为 Y ≥ 0 且 c > 0，开平方函数在非负区间也是单调递增的，两边开平方后不等号方向不变，可得 Y ≥ c，即事件A必然发生。

这意味着事件A和事件B是完全重合的集合——只要其中一个发生，另一个一定发生，反之亦然。既然是同一个事件，它们的概率自然相等，也就是你在切比雪夫不等式证明中看到的结论。

可能你直觉上觉得违和，是担心平方会“扩大”事件的范围？但别忘了 Y 本身是非负的，c 也是正数，这时候平方和开平方都是可逆的单调操作，不会改变事件对应的样本点集合。举个具体例子：假设 c=2，那么 Y≥2 的所有情况，平方后必然满足 Y²≥4；而 Y²≥4 的所有非负 Y，也必然满足 Y≥2（不可能出现 Y=-3 这种情况，因为 Y 是绝对值），所以两个事件的样本点完全一致，概率当然相等。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rajarshi