群论问题求证：[G:H∩K]≥lcm(m,n)及互素时等号成立

嘿，你已经走对路了！你推导出的两个指数等式是核心突破口，咱们一步步把剩下的逻辑补全：

第一步：证明不等式 $[G:H\cap K] \geq \text{lcm}(m,n)$ #

你已经得到：

• $[G:H\cap K] = n \cdot [K:H\cap K]$，这说明 $n$ 是 $[G:H\cap K]$ 的约数；
• $[G:H\cap K] = m \cdot [H:H\cap K]$，这说明 $m$ 也是 $[G:H\cap K]$ 的约数。

根据数论的基本结论：一个能同时被 $m$ 和 $n$ 整除的整数，必然大于等于它们的最小公倍数 $\text{lcm}(m,n)$。直接就能得出：
$$[G:H\cap K] \geq \text{lcm}(m,n)$$

第二步：当 $\gcd(m,n)=1$ 时，等号成立 #

当 $m$ 和 $n$ 互质时，$\text{lcm}(m,n) = m \cdot n$，我们只需要证明 $[G:H\cap K] \leq m \cdot n$，结合上面的不等式就能得到等号。

这里用到群论里的一个关键结论：$[H:H\cap K] = [HK:K]$（可以通过陪集对应或者第二同构定理证明：$H/(H\cap K) \cong HK/K$，因此两者的指数相等）。

因为 $HK$ 是 $G$ 的子集（不管是不是子群，陪集个数 $[HK:K]$ 都不会超过 $[G:K]$），所以：
$$[HK:K] \leq [G:K] = n$$

代入你之前的等式：
$$[G:H\cap K] = m \cdot [H:H\cap K] = m \cdot [HK:K] \leq m \cdot n$$

而因为 $\gcd(m,n)=1$，$\text{lcm}(m,n)=m \cdot n$，结合第一步的不等式 $[G:H\cap K] \geq m \cdot n$，就有：
$$[G:H\cap K] = m \cdot n = \text{lcm}(m,n)$$

如果是有限群的情况，也可以用拉格朗日定理辅助理解：
设 $|G|$ 有限，则 $|H|=|G|/m$，$|K|=|G|/n$，根据集合大小公式 $|HK| = \frac{|H||K|}{|H\cap K|}$，代入得：
$$[G:H\cap K] = \frac{|G|}{|H\cap K|} = \frac{|G| \cdot |HK|}{|H||K|} = \frac{|HK| \cdot m \cdot n}{|G|}$$
因为 $|HK| \leq |G|$，所以 $[G:H\cap K] \leq m \cdot n$，同样能得到等号成立的结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者1123581321