询问$\frac{1}{n+1}$当$n\to\infty$时的极限及夹逼定理应用困惑

嘿，你完全没算错！当$n\to\infty$时，$\frac{1}{n+1}$的极限确实是0，所谓的“答案是无穷大”肯定是哪里出了问题——要么是答案印错了，要么是你可能误看了题目（比如是不是把$\frac{n+1}{1}$看成了$\frac{1}{n+1}$？）。

咱们来理清楚细节：

• 你用夹逼定理的思路非常正确：当$n$趋向正无穷时，显然有$0 < \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$，而$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$，$\lim_{n\to\infty}0=0$，根据夹逼准则，$\frac{1}{n+1}$的极限必然是0。你选$-\frac{1}{n}$作为下界也没问题，因为它同样趋向0，不影响最终结果。
• 什么时候$\frac{1}{n+1}$的极限会是无穷大？只有当$n$趋向$-1$的时候：如果$n$从左边趋近于$-1$（比如$n=-1.1,-1.01,-1.001...$），$\frac{1}{n+1}$会趋向负无穷；如果从右边趋近（$n=-0.9,-0.99,-0.999...$），会趋向正无穷。但题目明确写的是$n\to\infty$，这和趋向$-1$完全是两回事。
• 你也可以用极限的定义来验证：对于任意给定的小正数$\epsilon$，我们只需要找到一个足够大的$N$，当$n>N$时，$|\frac{1}{n+1} - 0| = \frac{1}{n+1} < \epsilon$。解这个不等式得$n > \frac{1}{\epsilon} - 1$，只要取$N$为大于$\frac{1}{\epsilon}-1$的整数，就能满足极限定义，这也再次证明极限是0。

别怀疑自己的计算，你的方法和结果都是对的！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Cookiedough