该图是否存在哈密顿回路？求验证二分图顶点划分判断逻辑

嘿，你的直觉完全正确——这个图确实不存在哈密顿回路，我们来拆解你的疑问，把逻辑理清楚：

先澄清二分图的划分问题 #

你提到的“穿过中心上方的连线”，我们分两种情况分析它对结论的影响：

• 如果这条连线连接的是原本属于同一二分集合的顶点，那图就不再是二分图；如果它连接的是不同集合的顶点，那顶点划分依然是(3,1,3)。
  但不管是哪种情况，都能推导出不存在哈密顿回路的结论：

情况1：图是二分图（划分(3,1,3)） #

二分图存在哈密顿回路的必要条件是两个顶点集合的大小完全相等——因为哈密顿回路是交替遍历两个集合顶点的闭合回路，总顶点数必须是偶数。而这个图总共有7个顶点，是奇数，直接违反了这个必要条件，所以肯定不存在哈密顿回路。

情况2：图不是二分图（存在同一集合内的连线） #

假设这条连线让图不再是二分图，我们用顶点删除法分析：

• 删除中心顶点后，剩下的6个顶点会分成两个互不连通的3顶点子集（原本结构是中心连接两个子集，无其他跨子集边）。
• 如果存在哈密顿回路，必须经过中心顶点一次，从一个子集进入中心，再从中心进入另一个子集。但回路是闭合的，要包含所有顶点，就必须再次经过中心才能回到起点——这违反了哈密顿回路“每个顶点仅经过一次”的定义。

所以不管图是否为二分图，结论都是不存在哈密顿回路。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sktsasus