自然数因数算术关系证明：∏_{d|n} d² = n^{d(n)}

嘿，这个数论恒等式的证明其实挺巧妙的，咱们就用题目给的核心提示一步步拆解：

先明确定义 #

首先回顾题目里的关键定义：

• $d(n)$ 是正整数 $n$ 的正因数个数，也就是 $d(n):=\sum_{d|n}1$；
• 等式左侧是 $n$ 的所有正因数的平方之积，即 $\prod_{d|n} d^2$。

核心思路：因数配对 #

题目给出的提示是关键：

若 $d$ 是 $n$ 的正因数，则 $n/d$ 也是 $n$ 的正因数。

这个性质告诉我们，$n$ 的正因数可以两两配对：每一对 $(d, n/d)$ 的乘积都是 $d \times (n/d) = n$。唯一的例外是当 $n$ 是完全平方数时，存在一个因数 $\sqrt{n}$，它和自身配对（因为 $\sqrt{n} = n/\sqrt{n}$）。

计算所有正因数的乘积 #

先不考虑平方，先计算所有正因数的乘积 $P = \prod_{d|n} d$：

• 如果 $d(n)$ 是偶数：所有因数都能两两配对，共有 $d(n)/2$ 组，每组乘积为 $n$，所以 $P = n^{d(n)/2}$；
• 如果 $d(n)$ 是奇数：说明 $n$ 是完全平方数，此时有 $(d(n)-1)/2$ 组两两配对的因数（每组乘积为 $n$），再加上单独的 $\sqrt{n}$（即 $n^{1/2}$），所以 $P = n^{(d(n)-1)/2} \times n^{1/2} = n^{d(n)/2}$。

不管 $d(n)$ 是奇数还是偶数，都有 $P = n^{d(n)/2}$。

推导原等式 #

原等式左侧是所有因数平方的乘积，也就是 $P^2$：

∏_{d|n} d² = (∏_{d|n} d)² = (n^{d(n)/2})² = n^{d(n)}

这正好等于等式的右侧，因此原恒等式得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者vfantina