当$x \to 0+$时，$1-\cos^2(x)$是否为$\sin^3(x)$的高阶无穷小？术语求证

先给你理清楚核心逻辑：你对两个无穷小的等价替换完全正确：

• 1 - cos²(x) 化简后是 sin²(x)，当 x→0 时等价于 x²，属于2阶无穷小
• sin³(x) 在 x→0 时等价于 x³，属于3阶无穷小

接下来关键是明确「高阶无穷小」的严格定义：当 x→0 时，若极限 lim(β(x)/α(x)) = 0，则称 β(x) 是 α(x) 的高阶无穷小。按这个定义计算：

lim(x→0) [sin³(x) / (1 - cos²(x))] = lim(x→0) [x³ / x²] = lim(x→0) x = 0

所以你的判断是对的——sin³(x) 确实是 1 - cos²(x) 的高阶无穷小。

那考试系统给出相反结论，大概率是两种情况：

• 题目实际问的是「1 - cos²(x) 是不是 sin³(x) 的高阶无穷小」：这时候极限是 lim(x→0) [(1 - cos²(x))/sin³(x)] = lim(x→0) 1/x → ∞，此时 1 - cos²(x) 是 sin³(x) 的低阶无穷小，系统结论自然和你的判断相反
• 你可能不小心混淆了表述逻辑：有时候容易把“阶数更高”和“谁是谁的高阶”搞混，但记住核心：阶数越高的无穷小，趋近于0的速度越快，所以它是阶数更低的无穷小的高阶无穷小

建议你再核对下题目原文的具体表述，就能快速定位问题所在啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者M.Hamza Ali