群间乘法映射的性质证明：求证φ(1_G₁)=1_G₂及φ(x⁻¹)=φ(x)⁻¹

已知G₁、G₂为群，φ: G₁→G₂是群同态（满足对任意a,b∈G₁，φ(ab)=φ(a)φ(b)），咱们来补全两个关键性质的完整证明：

1. 证明φ(1_{G₁})=1_{G₂} #

你的初始思路已经抓对了核心，任取x∈G₁，利用群的单位元性质 (x \cdot 1_{G_1} = 1_{G_1} \cdot x = x)，结合同态的乘法保持性，我们可以推导：
$$\phi(x) \phi (1_{G_1})=\phi(x \cdot 1_{G_1})=\phi(x)$$
$$\phi (1_{G_1}) \phi(x)=\phi(1_{G_1} \cdot x)=\phi(x)$$

接下来利用群的逆元性质严谨收尾：在G₂中，对上面第一个等式两边同时右乘φ(x)的逆元(\phi(x)^{-1})（群中每个元素都存在唯一逆元），可得：
$$\phi(1_{G_1}) = \phi(x)^{-1} \cdot \phi(x) = 1_{G_2}$$

结合群单位元的唯一性，就能确定φ(1_{G₁})就是G₂的单位元1_{G₂}。

2. 证明对任意x∈G₁，φ(x⁻¹)=φ(x)⁻¹ #

这部分的关键是利用群中元素与逆元的乘积特性。任取x∈G₁，根据群的定义有 (x \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x = 1_{G_1})，对这个等式两边应用同态φ：
$$\phi(x \cdot x^{-1}) = \phi(1_{G_1})$$

左边用同态的乘法保持性展开，右边替换成刚证明的结论1_{G₂}：
$$\phi(x) \cdot \phi(x^{-1}) = 1_{G_2}$$

同理，对 (x^{-1} \cdot x = 1_{G_1}) 应用φ可得：
$$\phi(x^{-1}) \cdot \phi(x) = 1_{G_2}$$

根据群逆元的定义：若G₂中元素z满足 (y \cdot z = z \cdot y = 1_{G_2})，则z是y的逆元(y^{{-1})。这里y=φ(x)，z=φ(x⁻¹)，因此直接得出(\phi(x}{-1}) = \phi(x)^{-1})。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Atvin