为何y' = x²属于微分方程？与过往学习示例不符的疑问

嘿，这个问题我刚接触微分方程的时候也纠结过！之前学的例子大多是$y' = y$这种同时出现未知函数$y$和它导数的形式，确实容易让人误以为微分方程必须同时包含这两者，但其实不是这样的。

咱们先回到微分方程的核心定义：微分方程是含有未知函数的导数（或微分）的等式——重点是「未知函数的导数」，而不是必须同时出现未知函数本身。

举几个例子你就明白了：

• $y' = x$：这里的$y'$是未知函数$y$的一阶导数，哪怕等式里没直接写$y$，它依然是一阶微分方程，求解就是直接积分得到$y = \frac{1}{2}x^2 + C$。
• $y'' = 0$：这是二阶微分方程，它的解是一次函数$y = Ax + B$，代入后显然满足等式，完全符合微分方程的要求。

回到你提到的$y' = x^2$，它包含了未知函数$y$的一阶导数$y'$，完全满足微分方程的定义。之前的教材可能更偏向于先展示包含$y$的例子，是为了引入可分离变量、一阶线性这类更典型的求解场景，但这并不代表不含$y$的等式就不是微分方程。

这类不含未知函数本身的微分方程，求解反而更直接——直接对等式两边积分就能得到通解，比如$y' = x^2$的通解就是$y = \frac{1}{3}x^3 + C$，代入原方程验证一下，左边$y' = x^{2$，右边也是$x}2$，完全成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sansa Stark