紧度量空间上满足特定条件的连续映射在对角线外上确界是否可为负？

是的，这种情况是完全可能的，我们可以通过构造具体的例子来验证：

离散紧度量空间的例子 #

取紧度量空间 ( E = {0, 1} )，赋予离散度量（即 ( d(x,y)=1 ) 当 ( x \neq y )，( d(x,y)=0 ) 当 ( x=y )）。定义映射 ( f: E \times E \to (-\infty, 0] ) 如下：

• ( f(0,0) = f(1,1) = 0 )
• ( f(0,1) = f(1,0) = -1 )

验证条件： #

1. 连续性：离散空间上的所有映射都是连续的——因为任何子集都是开集，所以 ( f ) 完全满足连续性要求。
2. ( f(x,y)=0 \iff x=y )：显然，只有当 ( x=y ) 时 ( f ) 取0，其余不同点对的函数值都是-1，符合条件。
3. ( E \times E - \Delta ) 上的上确界为负：这个集合就是 ( {(0,1), (1,0)} )，( f ) 在其上的最大值为-1，上确界自然也是-1，是负数。

补充：非离散紧度量空间为什么不行？ #

如果 ( E ) 是非离散的紧度量空间，那么必然存在收敛序列 ( x_n \to x ) 且 ( x_n \neq x ) 对所有 ( n )。考虑点列 ( (x_n, x) \in E \times E - \Delta )，由 ( f ) 的连续性，( f(x_n, x) \to f(x,x) = 0 )。这意味着对于任意 ( \epsilon > 0 )，总能找到足够大的 ( n ) 使得 ( f(x_n, x) > -\epsilon )。因此 ( f ) 在 ( E \times E - \Delta ) 上的上确界必然是0，无法为负。

总结：当 ( E ) 是离散紧度量空间时，满足题设条件的映射 ( f ) 可以在 ( E \times E - \Delta ) 上有负的上确界；而如果 ( E ) 是非离散的紧度量空间，则不可能做到这一点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Youssef Sabar