求n≥1时集合{(a,b)|(a,b)∈N×N且1≤a≤b≤n}的元素个数并证明

嘿，我来帮你理清这个集合元素计数的问题，分两部分解答：

这个集合的元素个数是 $\frac{n(n+1)}{2}$，下面我们来详细推导证明。

通用结论与证明 #

当 $n \in \mathbb{N}$ 且 $n \geq 1$ 时，该集合的元素个数为 $\frac{n(n+1)}{2}$，证明过程如下：

我们可以按第一个元素 $a$ 的取值来拆分集合中的元素：

• 当 $a=1$ 时，$b$ 可以取 $1,2,\dots,n$，一共 n个 元素；
• 当 $a=2$ 时，$b$ 只能取 $2,3,\dots,n$（因为要求 $a \leq b$），一共 n-1个 元素；
• ...
• 当 $a=k$（其中 $1 \leq k \leq n$）时，$b$ 的取值范围是 $k,k+1,\dots,n$，一共 $n - k + 1$ 个元素；
• ...
• 当 $a=n$ 时，$b$ 只能取 $n$，一共 1个 元素。

把这些数量加起来，总元素个数就是：
$$
S = n + (n-1) + (n-2) + \dots + 2 + 1
$$

这是经典的首项为1、末项为n、项数为n的等差数列求和，用等差数列求和公式就能得到：
$$
S = \frac{(1 + n) \times n}{2} = \frac{n(n+1)}{2}
$$

n=5时的计算实例 #

当 $n=5$ 时，我们可以逐个枚举验证：

• $a=1$：$(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)$ → 5个元素；
• $a=2$：$(2,2),(2,3),(2,4),(2,5)$ →4个元素；
• $a=3$：$(3,3),(3,4),(3,5)$ →3个元素；
• $a=4$：$(4,4),(4,5)$ →2个元素；
• $a=5$：$(5,5)$ →1个元素；

把这些数量相加：$5+4+3+2+1=15$，用公式计算的话 $\frac{5 \times (5+1)}{2}=15$，结果完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Macker