技术问询：声子是否为动量算符的本征态？

首先直接给结论：声子不是真实动量算符的本征态。

声子是晶格振动简正模量子化后得到的准粒子，它对应的“动量”其实是准动量（晶体动量），而非严格意义上的真实动量算符$\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla$的本征值。因为晶格本身具有周期性，真实动量算符在周期势场环境下并不是守恒量，取而代之的是准动量守恒（允许相差倒格矢的整数倍）。

周期势场中电子的布洛赫态与动量算符的关系 #

对于处在周期势场中的电子，包含周期势场的哈密顿量本征态确实是布洛赫函数，其形式为：
$$\Psi_{n \mathbf{k}}(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) $$
其中$u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})$具有晶格周期性：$u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r+R})=u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})$（$\mathbf{R}$为晶格矢量，$n$代表能带指标）。

布洛赫函数并非真实动量算符的本征态，我们可以通过直接计算来验证：
$$
\begin{align*}
-i\hbar\nabla \Psi_{n \mathbf{k}}(\mathbf{r})&=-i\hbar\nabla\left[e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})\right]\
&=-i\hbar\left[i\mathbf{k}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) + e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\nabla u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})\right]\
&=\hbar\mathbf{k}\Psi_{n \mathbf{k}}(\mathbf{r}) -i\hbar e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\nabla u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})
\end{align*}
$$
从结果能看到，这个表达式并不等于某个常数乘以$\Psi_{n \mathbf{k}}(\mathbf{r})$——因为第二项的存在，所以布洛赫函数不满足真实动量算符的本征态条件。这里的$\hbar\mathbf{k}$是电子的准动量，它描述的是电子在周期晶格中的运动属性，遵循的是准动量守恒规则，而非真实动量守恒。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Chaos