代数扩张是否可同构于真子域？域论新手求验证解法正确性

作为刚入门域论的新手，我试着梳理了这个问题的思路，想请各位帮忙看看我的解法是否正确：

首先分两种核心情况讨论：

有限代数扩张的情形 #

假设$K/F$是有限代数扩张，若存在F-代数同构$\phi:K\to L$，其中$L$是$K$包含$F$的真子域：

• 因为$\phi$是F-代数同构，它同时也是F-向量空间的线性同构，这意味着$[K:F]=\dim_F K=\dim_F L=[L:F]$。
• 但$L$是$K$的真子域，有限扩张下必然满足$[L:F]<[K:F]$，这就产生了直接矛盾。所以在有限代数扩张的场景中，$K$不可能作为F-代数同构于它的真子域$L$。

无限代数扩张的情形 #

无限代数扩张时，这种同构是完全存在的，举个具体例子就能说明：

• 取$F=\mathbb{Q}$，令$K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[4]{2},\sqrt[8]{2},...)$，也就是添加所有$2^{2{-n}}$次方根得到的域，这是$\mathbb{Q}$上的无限代数扩张。
• 取真子域$L=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},\sqrt[8]{2},...)$，定义F-代数同构$\phi:K\to L$：对每个$\sqrt[2^{n]{2}$，令$\phi(\sqrt[2}n]{2})=\sqrt[2^{n+1}]{2}$，再将这个映射延拓到整个$K$上（$K$中每个元素都是这些根的有理组合，延拓后能保持F-代数的所有运算规则）。
• 显然$\phi$是双射且完全符合F-代数同构的要求，而$L$确实是$K$的真子域，这就证明了无限代数扩张时，$K$可以作为F-代数同构于它的真子域。

回到我最开始的思路：如果存在这样的同构$\phi:K\to L$，对任意$\alpha\in K\setminus L$，$\phi(\alpha)$确实是$\alpha$在$F$上的共轭元（因为$\phi$保持F中元素，极小多项式$f(x)$会满足$f(\phi(\alpha))=\phi(f(\alpha))=\phi(0)=0$）。但在无限扩张的情况下，这个共轭元序列可以无限迭代下去，不会出现矛盾；而有限扩张时，向量空间维数的限制直接否决了这种同构的可能性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Landon Carter