求证：若L₂收敛则L₁亦收敛——基于L₁距离放缩的证明方法

没问题，这是积分不等式的经典应用场景，咱们就严格通过对L₁范数的放缩来完成证明：

核心目标 #

我们需要验证：当$n \to \infty$时，若L₂范数
$$\left(\int_{a}^{{b}|f_n(x)-f(x)|}2 dx\right)^{\frac{1}{2}} \to 0$$
则L₁范数
$$\int_{a}^{b}|f_n(x)-f(x)| dx \to 0$$

具体放缩步骤 #

1. 重构L₁积分形式：
   把L₁积分拆成两个函数的乘积积分，方便后续应用不等式：
   $$\int_{a}^{b}|f_n(x)-f(x)| dx = \int_{a}^{b} |f_n(x)-f(x)| \cdot 1 , dx$$

2. 应用柯西-施瓦茨不等式：
   积分形式的柯西-施瓦茨不等式是关键工具，它指出：对任意可积函数$u(x)$和$v(x)$，有
   $$\left|\int_{a}^{b} u(x)v(x)dx\right| \leq \left(\int_{a}^{b}|u(x)|2 dx\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\int_{a}^{b}|v(x)|2 dx\right)^{\frac{1}{2}}$$
   这里取$u(x) = |f_n(x)-f(x)|$，$v(x) = 1$，代入后得到：
   $$\int_{a}^{b}|f_n(x)-f(x)| dx \leq \left(\int_{a}^{{b}|f_n(x)-f(x)|}2 dx\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\int_{a}^{b}12 dx\right)^{\frac{1}{2}}$$

3. 化简常数项：
   右边的第二个积分是固定常数，计算得：
   $$\left(\int_{a}^{b}12 dx\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{b - a}$$
   代入后不等式简化为：
   $$\int_{a}^{b}|f_n(x)-f(x)| dx \leq \sqrt{b - a} \cdot \left(\int_{a}^{{b}|f_n(x)-f(x)|}2 dx\right)^{\frac{1}{2}}$$

4. 结合L₂收敛条件推导结论：
   已知当$n \to \infty$时，$\left(\int_{a}^{{b}|f_n(x)-f(x)|}2 dx\right)^{\frac{1}{2}} \to 0$，而$\sqrt{b - a}$是一个非负常数。根据极限的基本性质，趋于0的量乘以常数仍趋于0，因此：
   $$\int_{a}^{b}|f_n(x)-f(x)| dx \to 0$$

至此，仅通过对L₁距离的放缩就完成了证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ivanculet