判断集合{(x,y)∈ℝ²:2x²−y²≤1}是否为紧集及证明方法咨询

嘿，先纠正一下你的初步判断哦——这个集合不是紧集，咱们结合你给出的定义一步步来推导：

首先明确我们要分析的集合：
S = {(x,y)∈ℝ² : 2x²−y²≤1}

根据你给出的紧集定义：集合是紧集当且仅当它是闭集且有界，我们只需要验证这两个条件是否同时满足即可。

1. 证明集合S是无界的 #

有界集的定义是：存在实数R>0，使得集合中的所有点都包含在以原点为中心、R为半径的开球B_R(0)内。我们可以通过构造一个趋向无穷远的序列来证明S无界：

• 取序列(x_n, y_n) = (n, √(2n² - 1))，其中n是正整数。
• 验证每个点都属于S：代入不等式得2n² - (2n² - 1) = 1 ≤ 1，满足集合S的条件，因此每个(x_n,y_n)都在S中。
• 计算该序列到原点的距离：||(x_n,y_n)|| = √(n² + (2n² - 1)) = √(3n² - 1)，当n趋向于无穷大时，这个距离也趋向于无穷大。
• 这意味着不存在一个固定的R>0，能把所有S中的点都包含在B_R(0)里，因此S是无界集。

2. 补充：集合S是闭集（但不影响紧性判断） #

虽然S不是紧集，但我们可以顺便验证它是闭集：

• 假设(x_k, y_k)是S中的一个收敛序列，极限为(x,y)。
• 由于函数f(x,y)=2x²−y²是连续函数，根据连续函数的极限性质，lim_{k→∞} f(x_k,y_k) = f(x,y)。
• 因为每个(x_k,y_k)都属于S，所以f(x_k,y_k) ≤1，取极限后可得f(x,y) ≤1，即(x,y)∈S。
• 这说明S包含了所有的极限点，符合闭集的定义。

结论 #

紧集要求同时满足闭集和有界两个条件，而S是无界的，因此它不是紧集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者D.C. the III