证明不存在从[0,1]到[0,1]^2的连续双射函数及相关疑问

咱们来一步步拆解这个问题，先从你的思路出发补全证明，再解答你关于非连续双射的疑问：

核心证明思路 #

假设存在一个连续双射$f:[0,1] \to [0,1]^2$，我们要通过拓扑性质导出矛盾：

• 首先，$[0,1]$是紧致空间（闭且有界的欧氏空间子集），而$[0,1]^{2$是Hausdorff空间（任意两个不同点都有不相交的开邻域）。根据拓扑学基本结论：**紧致空间到Hausdorff空间的连续双射必为同胚**——也就是说逆函数$f}{-1}:[0,1]^2 \to [0,1]$不仅是双射，还一定是连续的。
• 接下来看连通性的矛盾：
  • 在单位正方形$[0,1]^{2$中去掉任意一个内部点，比如$(0.5,0.5)$，得到的空间$[0,1]}2 \setminus {(0.5,0.5)}$仍然是连通的——你完全可以从任意一点绕开这个点走到另一点，空间没有被拆成不相交的两部分。
  • 但对这个空间应用连续的逆函数$f^{-1}$，得到的是$[0,1] \setminus {f^{-1}(0.5,0.5)}$，也就是闭区间去掉一个点，结果是两个不相交的开区间$(0, c)$和$(c, 1)$（其中$c = f^{-1}(0.5,0.5)$），这显然是不连通的。
• 连续函数的核心性质之一是“连通性保持”：连续映射会把连通空间映射成连通空间。但这里$f^{-1}$作为连续映射，却把连通空间映射成了不连通空间，这就产生了矛盾！因此我们的初始假设不成立——不存在这样的连续双射。

关于非连续双射的疑问 #

不要求连续性的话，这样的双射是存在的。从集合论的角度，$[0,1]$和$[0,1]^2$的基数相同（都是连续统$\mathfrak{c}$），而集合论的基本结论告诉我们：两个等基数的集合之间一定存在双射。只不过这种双射是极度不连续的，无法用常规的解析式表达，但它确实存在。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Squirrel-Power