技术求助：如何将1×4矩阵A的核表示为4×3矩阵B的像？

我来一步步给你理清楚这个问题的逻辑和解决方法哈～

首先咱们先明确两个核心概念：

• 矩阵A的核（零空间）：就是满足$A\vec{x} = \vec{0}$的所有向量$\vec{x}$构成的集合，记为$\ker(A)$
• 矩阵B的像（列空间）：就是B的所有列向量的线性组合构成的集合，记为$\text{im}(B)$

你的任务本质上就是找一个4×3的矩阵B，让它的列空间恰好等于A的零空间。

第一步：求解$A\vec{x} = \vec{0}$，得到$\ker(A)$的一组基 #

已知$A = \begin{bmatrix}1&2&3&4 \end{bmatrix}$，对应的线性方程是：
$$x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 = 0$$

我们可以用自由变量来表示主变量：

• 这里$x_1$是主变量，$x_2、x_3、x_4$是自由变量，设$x_2 = s$，$x_3 = t$，$x_4 = u$（$s、t、u$为任意实数）
• 代入方程可得$x_1 = -2s -3t -4u$

所以所有解向量$\vec{x}$可以写成线性组合的形式：
$$\vec{x} = s\begin{bmatrix}-2\1\0\0\end{bmatrix} + t\begin{bmatrix}-3\0\1\0\end{bmatrix} + u\begin{bmatrix}-4\0\0\1\end{bmatrix}$$

这说明$\ker(A)$是由这三个向量张成的子空间，这三个向量就是$\ker(A)$的一组基。

第二步：构造目标矩阵B #

因为$\text{im}(B)$是B的列向量的所有线性组合，所以我们直接把刚才得到的$\ker(A)$的基向量作为B的列，就能让$\text{im}(B)$完全等于$\ker(A)$。

最终的4×3矩阵B就是：
$$B = \begin{bmatrix}-2&-3&-4\1&0&0\0&1&0\0&0&1\end{bmatrix}$$

简单验证一下 #

• 任取$\vec{y} \in \text{im}(B)$，则$\vec{y}$是B列向量的线性组合，代入A计算：$A\vec{y} = 1*(-2s-3t-4u) + 2s + 3t +4*u = 0$，所以$\vec{y}$一定在$\ker(A)$里
• 任取$\vec{x} \in \ker(A)$，则$\vec{x}$必然是那三个基向量的线性组合，也就是$\vec{x} = B\begin{bmatrix}s\t\u\end{bmatrix}$，所以$\vec{x}$一定在$\text{im}(B)$里

这样就完美满足了“把A的核表示为B的像”的要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Horry b