求解函数$f(x)=\sin(x+f(x))$：闭式非递归形式及高效近似方法

1. 是否存在闭式非递归形式？ #

很遗憾，目前没有已知的闭式非递归形式可以表示这个方程的解。这类方程属于隐函数方程，$f(x)$嵌套在超越函数正弦内部，无法通过初等函数（多项式、指数、对数、三角函数及其反函数的组合）来显式表达解。

从数学层面可以确认解的存在唯一性：对于任意实数$x$，定义映射$T(f) = \sin(x + f)$，这是一个压缩映射（根据均值定理，$|T(f_1)-T(f_2)| = |\cos(c)||f_1-f_2| \leq |f_1-f_2|$，且当$x+f$不在$\pi/2 + k\pi$附近时，压缩系数严格小于1），依据Banach不动点定理，迭代序列$f_k(x)$会收敛到唯一的不动点$f(x)$，但这个不动点无法用初等闭式写出。

2. 比迭代式成本更低的近似方法 #

你提到标准迭代$k>10000$才收敛，说明这种固定点迭代的收敛速度极慢——当解$f(x)$使得$\cos(x+f(x))$的绝对值接近1时，迭代仅能线性收敛，且收敛因子接近1。这里有几个更高效的替代方案：

a. 牛顿迭代法 #

将原方程改写为$F(f) = f - \sin(x + f) = 0$，用牛顿法求解$f$：
$$f_{k+1} = f_k - \frac{F(f_k)}{F'(f_k)} = f_k - \frac{f_k - \sin(x + f_k)}{1 - \cos(x + f_k)}$$
牛顿法是二次收敛的，通常只需几十次迭代就能达到极高精度，远快于标准固定点迭代。注意当$1 - \cos(x + f_k)$接近0（即$x+f_k$接近$2k\pi$）时，可切换回固定点迭代或使用修正牛顿法避免数值不稳定。

b. 切比雪夫多项式逼近 #

原方程的解$f(x)$是连续且光滑的（可通过隐函数定理证明其任意阶可导），我们可以预先在目标区间（比如$[-\pi, \pi]$或更大范围）上用高精度迭代计算足够多的样本点，再用切比雪夫多项式拟合这些点得到多项式近似。后续计算时直接代入多项式即可，成本极低，适合需要大量重复计算的场景。

c. Aitken加速固定点迭代 #

如果不想改变迭代核心形式，可使用Aitken加速法提升收敛速度。对于序列$f_k$，加速后的序列为：
$$\hat{f}k = f_k - \frac{(f{k+1} - f_k)^2}{f_{k+2} - 2f_{k+1} + f_k}$$
这个方法能把线性收敛的序列加速到超线性收敛，原本需要10000次的迭代，可能几百次就能达到同等精度。

补充说明 #

你提到的$f_{10000}(x)$与$\sin(x)$的曲线差异，本质是因为$f(x)$是$\sin(x + f(x))$，相当于正弦的自变量包含了自身的反馈，因此曲线会产生细微变形。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sam