如何证明下述积分表达式的值与x无关？求导数法求解咨询

嘿，你找对方向啦！既然你已经想到和求导有关，那咱们就顺着这个思路一步步解决问题：

步骤1：定义目标函数 #

首先把要研究的表达式定义为关于x的函数：
$$F(x) = \int_{0}^{{x}\frac{1}{1+t}4} dt + \frac{1}{3}\int_{0}^{\frac{1}{x3}} \frac{1}{1+t^\frac{4}{3}} dt \quad (x>0)$$
我们的目标是证明F(x)是一个常数，也就是它的导数$F'(x)=0$。

步骤2：对F(x)求导 #

利用变上限积分的求导法则和复合函数求导法则分别计算两部分的导数：

1. 第一部分的导数：
   根据基本变上限积分求导公式 $\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}f(t)dt = f(x)$，直接得到：
   $$\frac{d}{dx}\left( \int_{0}^{{x}\frac{1}{1+t}4} dt \right) = \frac{1}{1+x^4}$$

2. 第二部分的导数：
   这里积分上限是 $\frac{1}{x^3}=x{-3}$，属于关于x的复合函数，需要用链式法则：$\frac{d}{dx}\int_{0}^{u(x)}f(t)dt = f(u(x)) \cdot u'(x)$。

• 先求 $u(x)=x^{-3}$ 的导数：$u'(x) = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$
• 再代入上限到被积函数：$f(u(x)) = \frac{1}{1+(x^{-3}){\frac{4}{3}}} = \frac{1}{1+x^{-4}} = \frac{x^4}{1+x4}$
• 结合系数 $\frac{1}{3}$，计算第二部分的导数：
  $$\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{3}\int_{0}^{\frac{1}{x3}} \frac{1}{1+t^\frac{4}{3}} dt \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^4}{1+x4} \cdot \left(-\frac{3}{x^4}\right) = -\frac{1}{1+x^4}$$

步骤3：合并导数结果 #

把两部分的导数加起来：
$$F'(x) = \frac{1}{1+x^4} + \left(-\frac{1}{1+x^4}\right) = 0$$

因为F(x)在x>0时的导数恒为0，说明F(x)是一个常数函数，它的值自然和x无关啦！

如果想验证这个常数的具体值，可以代入某个特殊的x（比如x=1）计算，不过这一步不是必须的——导数为0已经足够证明表达式与x无关。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者winonator