基变换与子空间问题：基变换矩阵存在性及维度咨询

咱们一步步拆解这两个问题的核心逻辑，先从基础概念入手：

1. L₁到L₂的基变换矩阵 #

L₁和L₂都是真子空间S的两组基——这意味着它们包含的向量个数完全相同（等于S的维度，假设为k，k只能是1或2，毕竟S是P₂[R]的真子空间，而P₂[R]的维度是3），而且它们张成的是同一个空间S。

这种情况下，基变换矩阵是存在的，而且是可逆方阵：

• 这个矩阵的作用是把L₁中向量的坐标转换为L₂下的坐标，反过来也成立。
• 矩阵的尺寸是k×k：比如如果S是1维子空间，矩阵就是1×1；如果是2维，就是2×2。

2. L₁到B₂的基变换矩阵 #

这里要先明确：通常咱们说的「基变换矩阵」，默认是指同一个向量空间中两个基之间的转换矩阵，这种矩阵是方阵且可逆。但L₁是子空间S的基，B₂是整个P₂[R]的基，S的维度k < 3，两者的基向量个数不一样，所以不存在这种「标准意义上的可逆基变换矩阵」。

不过如果换个角度：如果我们想把L₁中的每个向量用B₂的基向量线性表示，得到的系数矩阵是存在的——这个矩阵的尺寸是3×k（因为B₂有3个基向量，每个L₁中的向量对应B₂下的3个系数，k个向量就构成3行k列的矩阵）。但它不是通常说的「基变换矩阵」，因为它不是方阵，也不可逆，只能用来表示子空间基向量在母空间基下的坐标，没法实现两个基之间的完整坐标转换（毕竟L₁的基只能张成S，覆盖不了整个P₂[R]）。

总结 #

• L₁到L₂：存在可逆的基变换矩阵，尺寸为dim(S)×dim(S)
• L₁到B₂：不存在标准意义上的可逆基变换矩阵，但存在表示L₁向量在B₂下坐标的矩阵，尺寸为3×dim(S)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JustToKnow