求椭圆函数$f(z) = \sum_{\omega \in \Omega} \frac{1}{(z - \omega)^3}$的零点

先给你理清这个函数的背景：它本质是Weierstrass椭圆函数 $\wp(z)$ 二阶导数的负半值——因为 $\wp'(z) = -2\sum_{\omega \in \Omega} \frac{1}{(z - \omega)^3}$，所以 $f(z) = -\frac{1}{2}\wp''(z)$，自带双周期 $\omega_1, \omega_2$，对应的周期格为 $\Omega = {m\omega_{1} + n\omega_{2}: m,n \in \mathbb{Z}}$。

关于它在基本平行四边形内的零点，结论很明确：

• $\frac{\omega_{1}}{2}$
• $\frac{\omega_{2}}{2}$
• $\frac{\omega_{1} + \omega_{2}}{2}$

从椭圆函数的核心性质也能验证这个结论：椭圆函数在一个基本周期平行四边形内，极点的总阶数等于零点的总阶数。这个 $f(z)$ 在每个格点处是3阶极点，基本平行四边形内仅含一个等价极点，总极点阶数为3；而上面三个点都是 $f(z)$ 的单零点，加起来刚好3阶，完全符合椭圆函数的零点-极点平衡规则。

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