向量子空间交集为零空间的证明：含具体子空间条件的求证问题

一、证明 $F_2 \cap F_3 = {0}$ #

咱们用元素法来证，这是子空间交集问题最常用的思路——任取交集中的元素，证明它只能是零向量。

具体步骤如下：

• 任取向量 $x \in F_2 \cap F_3$，根据交集定义，$x$ 同时属于 $F_2$ 和 $F_3$。
• 因为 $F_1 + F_2$ 是所有形如 $a+b$（$a \in F_1, b \in F_2$）的向量构成的子空间，而 $x \in F_2$，所以可以把 $x$ 写成 $0 + x$（其中 $0$ 是 $F_1$ 中的零向量，子空间必然包含零向量），这就意味着 $x \in F_1 + F_2$。
• 现在我们得到 $x \in F_1 + F_2$ 且 $x \in F_3$，也就是 $x \in (F_1 + F_2) \cap F_3$。
• 题目已经给出 $(F_1 + F_2) \cap F_3 = {0}$，所以 $x$ 只能是零向量。

由此可证 $F_2 \cap F_3 = {0}$。

二、证明 $F_1 \cap (F_2 + F_3) = {0}$ 的提示 #

还是沿用元素法的核心思路，给你几个关键方向：

• 任取 $y \in F_1 \cap (F_2 + F_3)$，那么 $y \in F_1$，同时 $y$ 可以拆解为 $y = u + v$（$u \in F_2, v \in F_3$）。
• 把式子变形为 $y - u = v$，观察等式两边向量所属的子空间。
• 结合题目给出的 $F_1 \cap F_2 = {0}$ 和 $(F_1 + F_2) \cap F_3 = {0}$ 两个条件，推导 $y$ 必须是零向量。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Souames