向量空间判定问题：满足积分条件的正实值函数集合是否为向量空间？

设V是区间[a,b]上所有满足$$\int_a^b f(x),\mathrm{d}x=2$$的正实值函数f构成的集合，配备通常的函数加法与数乘运算。请问V是否为向量空间？若不是，请指出其不满足的向量空间性质。

咱们直接给出结论：V不是向量空间，它不满足向量空间的三条核心性质，具体分析如下：

• 加法封闭性不成立：假设f和g都是V中的元素，根据定义，$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=2$，$\int_a^b g(x)\mathrm{d}x=2$。按照函数加法的规则，f+g的积分应该是$\int_a^b [f(x)+g(x)]\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\mathrm{d}x + \int_a^b g(x)\mathrm{d}x = 2+2=4$，这个结果不等于2，所以f+g不属于V，加法封闭性要求不满足。

• 数乘封闭性不成立：取任意f∈V，咱们拿数乘系数k=2举例，$2f$的积分是$\int_a^b 2f(x)\mathrm{d}x = 2\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=2×2=4≠2$，显然2f不在V里；哪怕取k=0，零函数$0f$的积分是0，同样不等于2，也不属于V。这就说明数乘运算无法保持在V集合内，数乘封闭性不满足。

• 不存在零元：向量空间必须存在一个零向量（零函数），使得任意元素和它相加都等于自身，同时这个零向量得属于V。但零函数的积分是$\int_a^b 0(x)\mathrm{d}x=0≠2$，所以它不在V中；而V里的所有函数积分都是2，任何两个这样的函数相加积分都会变成4，不可能存在某个函数0∈V，让f+0=f成立，因此V中没有符合要求的零元。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者IronVenom