隐式曲面法向量求解问询：指定点处法向量计算与验证

嘿，你的思路完全正确！对于由隐式方程 (g(x,y,z)=0) 定义的曲面，梯度 (\nabla g(x,y,z)) 确实是它的法向量场，这个方向没毛病。咱们把计算过程补全，顺便修正一个小细节：

首先，把曲面方程整理成标准的隐式形式：
$$g(x,y,z)=x^3+3x2y+y^2+2\cos(z)-13=0$$

接下来计算梯度的三个偏导数分量：

• 对 (x) 的偏导：(\frac{\partial g}{\partial x}=3x^2+6xy)（你这里算的是对的）
• 对 (y) 的偏导：这里你之前漏了 (y^2) 的导数，正确结果是 (\frac{\partial g}{\partial y}=3x^2+2y)（原函数里 (y^2) 对 (y) 求导是 (2y)，加上 (3x^2y) 对 (y) 的导数 (3x^2)）
• 对 (z) 的偏导：(\frac{\partial g}{\partial z}=-2\sin(z))（这个也没问题）

现在代入点 ((1,2,0)) 计算每个分量：
$$
\nabla g(1,2,0)= \begin{bmatrix}
3\cdot1^2 + 6\cdot1\cdot2 \
3\cdot1^2 + 2\cdot2 \
-2\sin(0)
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
3+12 \
3+4 \
0
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
15 \
7 \
0
\end{bmatrix}
$$

所以，该曲面在点 ((1,2,0)) 处的一个法向量就是 (\boldsymbol{(15,7,0)})，当然任何这个向量的非零常数倍也都是合法的法向量（因为法向量的方向才是关键，长度不影响）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tuki