给定三角形ABC顶点与点P的整数坐标，如何判断P严格在三角形内？

刚好之前做几何相关的小工具时碰到过这个需求，常规的面积法会把边界上的点也算进去，要实现严格内部的判断，只需要在原有逻辑上补充几个限制条件就行——而且因为都是整数坐标，用叉积算面积的两倍来做整数运算，完全不用担心浮点数精度问题。

核心思路 #

常规面积法的逻辑是：如果点P在三角形ABC内部或边上，那么△ABC的面积等于△ABP、△ACP、△BCP的面积之和。但要严格排除边界（包括顶点和边），我们需要额外确保三个小三角形的面积都大于0——因为如果P在某条边上，对应的那个小三角形面积会是0；如果P是顶点，那两个小三角形面积会是0。

具体步骤 #

1. 计算面积的两倍（避免浮点数）
   对于任意三个点X(x1,y1)、Y(x2,y2)、Z(x3,y3)，三角形XYZ面积的两倍可以用叉积公式计算：

   def calculate_double_area(X, Y, Z):
       return abs( (Y[0] - X[0])*(Z[1] - X[1]) - (Y[1] - X[1])*(Z[0] - X[0]) )
   

   取绝对值是因为叉积的符号代表方向，但我们只关心面积大小，这样全程都是整数运算，精准度拉满。

2. 判断逻辑
   假设：

   • S = △ABC的面积两倍
   • S1 = △ABP的面积两倍
   • S2 = △ACP的面积两倍
   • S3 = △BCP的面积两倍

   那么P严格在△ABC内部的条件是：

   • S == S1 + S2 + S3（确保点不在三角形外部）
   • S1 > 0 且 S2 > 0 且 S3 > 0（确保点不在任何一条边或顶点上）

为什么这样可行？ #

• 第一个条件保证了点P在三角形的闭包内（内部+边界）；
• 第二个条件排除了所有边界情况：如果P在AB边上，那△BCP的三个点共线，面积为0；如果P是A点，那△ABP和△ACP的面积都是0，只要三个小面积都大于0，就说明P不在任何边界上，只能在严格内部。

示例代码（Python） #

def is_strictly_inside(A, B, C, P):
    def double_area(X, Y, Z):
        return abs( (Y[0] - X[0])*(Z[1] - X[1]) - (Y[1] - X[1])*(Z[0] - X[0]) )
    
    S = double_area(A, B, C)
    S1 = double_area(A, B, P)
    S2 = double_area(A, C, P)
    S3 = double_area(B, C, P)
    
    return S == S1 + S2 + S3 and S1 > 0 and S2 > 0 and S3 > 0

# 测试用例
A = (0, 0)
B = (2, 0)
C = (1, 2)
P1 = (1, 1)  # 严格内部，返回True
P2 = (1, 0)  # 在AB边上，返回False
P3 = (0, 0)  # 顶点，返回False
print(is_strictly_inside(A,B,C,P1))  # True
print(is_strictly_inside(A,B,C,P2))  # False
print(is_strictly_inside(A,B,C,P3))  # False

这个方法完全基于整数运算，没有精度误差，而且逻辑简单易懂，非常适合处理整数坐标的情况。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Raokfc Rdkf