请求验证：我关于矩阵A与B相似性的判断思路是否正确

嘿，先给你确认下你的解题思路方向是对的！咱们一步步来理：

首先，你说第一步检查特征值没帮助？其实这里是有帮助的——先看两个矩阵的特征值：

• 矩阵A是上三角矩阵，特征值就是对角线的1、4、6；
• 矩阵B同样是上三角矩阵，特征值是6、4、1，本质上是完全相同的，只是顺序不一样。

然后你提到A的特征值互不相同，所以它是单纯矩阵（也就是可对角化矩阵），这点完全正确！那B呢？它的特征值也全是单根，所以B同样是可对角化的。

这里要划个重点：对于两个都可对角化的方阵，它们相似的充要条件就是特征值完全相同（不考虑顺序）。原因很简单：

• A相似于对角矩阵$\Lambda = \begin{bmatrix}1&0&0\0&4&0\0&0&6\end{bmatrix}$；
• B可以通过置换可逆矩阵，相似于同一个对角矩阵$\Lambda$（毕竟特征值顺序不影响对角化的结果，只是对角矩阵的元素顺序变一下，置换矩阵就能搞定）；
  根据相似的传递性，A和B肯定是相似的。

要是特征值有重根的情况，咱们才需要进一步去看特征子空间的维数或者Jordan标准形，但这里都是单特征值，直接就能判定相似啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user525033