伴随算子相关问题：赋范空间上有界线性算子的拓扑单射性探讨

关于有界线性算子与伴随算子的拓扑性质问题解答 #

先明确前提：设$X$和$Y$是赋范空间，$T \in B(X,Y)$是有界线性算子，拓扑单射定义为$T$是从$X$到其像集$ImT$的同胚（换句话说，$T$是单射，且逆映射$T^{-1}: ImT \to X$是有界线性算子）。

(a) 满射算子的伴随是否为拓扑单射？反之成立吗？

• 正向推导（$T$满射$\implies T^*$拓扑单射？）

  • 在一般赋范空间中：不一定成立。因为开映射定理仅对巴拿赫空间生效，满射的有界线性算子不一定是开映射，导致$T^{{-1}$无界，进而$(T})^{-1}=(T{-1})^{*$也无界，所以$T}$无法成为到其像集的同胚。
  • 在巴拿赫空间中：成立。根据开映射定理，满射的有界线性算子是开映射，因此$T^{{-1}$有界，其伴随算子$(T}{-1})^*=(T)^{-1}$也有界；同时$T$满射意味着$Ker T^*=(ImT)\perp={0}$，即$T^{*$是单射。两者结合，$T}$是拓扑单射。

• 反向推导（$T^*$拓扑单射$\implies T$满射？）

  • 无论是否为巴拿赫空间，都不成立。举个巴拿赫空间中的例子：取$X=Y=\ell^2$，定义$T(x_n)=(x_n/n)$，这个算子是拓扑单射（$|Tx| \geq \frac{1}{\sqrt{2}}|x|$，逆映射有界），且$ImT$在$\ell^{2$中稠密（包含所有有限支撑序列）。其伴随算子$T}*(y_n)=(y_n/n)$和$T$结构相同，是拓扑单射，但$T$的像集不是整个$\ell^2$（比如序列$(1/n)$不在$ImT$中），因此$T$不是满射。

(b) 像集闭则伴随算子像集闭？反之成立吗？

• 一般赋范空间：

  • 正向：$ImT$闭$\nRightarrow ImT^*$闭。存在不完备赋范空间上的算子，其像集闭，但伴随算子的像集在对偶空间中不闭（本质是对偶空间的闭性依赖原空间的完备性）。
  • 反向：$ImT^*$闭$\nRightarrow ImT$闭。同样在非完备空间中能找到反例。

• 巴拿赫空间：
  根据闭值域定理，$ImT$在$Y$中闭当且仅当$ImT^*$在$X*$中闭，因此正向和反向结论都成立，这也是题目备注中提到的情况。

(c) $T^*$为拓扑单射的充要条件

$T^*$是拓扑单射当且仅当：

$T$是拓扑单射（即存在常数$c>0$，使得对所有$x \in X$，$|Tx| \geq c|x|$），且$ImT$在$Y$中稠密。

验证逻辑：

1. $T^*$是单射等价于$Ker T^*=(ImT)\perp={0}$，这正好对应$ImT$在$Y$中稠密（正交补为零集当且仅当子空间稠密）。
2. $T^*$到其像集的逆映射有界，等价于$T$是下有界（拓扑单射）——这是对偶算子的经典等价性质，可通过哈恩-巴拿赫定理和对偶范数的定义推导得出。

两者结合，就构成了$T^*$成为拓扑单射的充要条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ann