推导全方差定律时的条件期望表达式相等性求证

嘿，你的直觉完全正确！这两个表达式确实是相等的，咱们用条件期望的核心性质一步步推导就能看明白：

首先得回忆两个条件期望的关键规则：

• 重期望法则（全期望公式）：对任意随机变量Z，都有 $E[E[Z|X]] = E[Z]$
• 条件期望的提取性质：如果$f(X)$是仅关于X的函数，那么在给定X的条件下，$f(X)$相当于“常数”，可以从条件期望中提出来，即 $E[Z \cdot f(X)|X] = f(X) \cdot E[Z|X]$

接下来开始推导：

1. 先处理左边的表达式 $E[Y \cdot E[Y|X]]$，根据重期望法则，我们可以把它拆成先对X取条件期望，再取总体期望：
   $$E[Y \cdot E[Y|X]] = E\left[ E\left[ Y \cdot E[Y|X] \mid X \right] \right]$$
2. 注意到内层条件期望里的 $E[Y|X]$ 是X的函数（给定X后它是确定值），所以根据提取性质，我们可以把它从内层期望中提出来：
   $$E\left[ E[Y|X] \cdot E[Y \mid X] \mid X \right]$$
3. 上面的式子简化后就是：
   $$E\left[ (E[Y|X])^2 \mid X \right]$$
4. 最后再用一次重期望法则，对这个式子取总体期望，就得到：
   $$E\left[ (E[Y|X])^2 \right]$$

这样就证明了左边的 $E[Y \cdot E[Y|X]]$ 和右边的 $E[(E[Y|X])^2]$ 完全相等～

顺带提一句，这个结论正是推导全方差定律的核心步骤之一，全方差定律里的 $Var(Y) = Var(E[Y|X]) + E[Var(Y|X)]$，就是靠这个等式把 $E[Y^2]$ 和条件期望的平方期望联系起来的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者James LT