关于嵌套开集直接像闭包之交的拓扑学技术问询

咱们先把问题里的已知条件再梳理一遍，方便后续分析：
给定连续映射 $T:E\to F$（$E,F$ 是拓扑空间），序数 $\beta$，一族满足以下条件的 $E$ 的开子集 ${B_\alpha:\alpha<\beta}$：

• 单调性：若 $\alpha_1<\alpha_2<\beta$，则 $B_{\alpha_2}\subset B_{\alpha_1}$
• 非空交集：$\bigcap_{\alpha<\beta}B_\alpha\neq\emptyset$
• 闭包开性：对每个 $\alpha<\beta$，$\overline{T(B_\alpha)}$ 是 $F$ 中的开集
• 闭包交集非空：$\bigcap_{\alpha<\beta}\overline{T(B_\alpha)}\neq\emptyset$

1. 基本包含关系：$\overline{T(\bigcap_{\alpha<\beta}B_\alpha)} \subset \bigcap_{\alpha<\beta}\overline{T(B_\alpha)}$ #

这个是必然成立的，证明很直接：
因为对任意 $\alpha<\beta$，$\bigcap_{\alpha'<\beta}B_{\alpha'} \subset B_\alpha$，两边作用连续映射 $T$ 后，有 $T\left(\bigcap_{\alpha'<\beta}B_{\alpha'}\right) \subset T(B_\alpha)$。
而闭包运算保持集合的包含关系，所以 $\overline{T\left(\bigcap_{\alpha'<\beta}B_{\alpha'}\right)} \subset \overline{T(B_\alpha)}$。
由于这个包含关系对每个 $\alpha<\beta$ 都成立，左边的集合自然包含于所有 $\overline{T(B_\alpha)}$ 的交集，也就是：
$$\overline{T(\bigcap_{\alpha<\beta}B_\alpha)} \subset \bigcap_{\alpha<\beta}\overline{T(B_\alpha)}$$

2. 反向包含不一定成立：存在严格包含的情况 #

反过来，$\bigcap_{\alpha<\beta}\overline{T(B_\alpha)} \subset \overline{T(\bigcap_{\alpha<\beta}B_\alpha)}$ 并不是普遍成立的，咱们可以构造一个具体的反例：

• 取 $E$ 为自然数集的单点紧化 $\mathbb{N}\cup{\infty}$，拓扑为：$\mathbb{N}$ 的所有子集都是开集，包含 $\infty$ 的开集是 $\mathbb{N}$ 的余有限子集并上 ${\infty}$。
• 取 $F$ 为自然数集的 Stone-Čech 紧化 $\beta\mathbb{N}$，它是极端不连通的拓扑空间（任意开集的闭包都是闭开集）。
• 定义连续映射 $T:E\to F$：对每个 $n\in\mathbb{N}$，$T(n)=n$；$T(\infty)=p$，其中 $p$ 是 $\beta\mathbb{N}$ 中的一个非主超滤（非主超滤是 $\beta\mathbb{N}$ 中不属于 $\mathbb{N}$ 的点）。
• 取 $\beta=\omega$（第一个无限序数），定义开子集族 $B_n = \mathbb{N}\setminus{1,2,\dots,n}$，显然这个族是递减的（$B_1\supset B_2\supset\dots$），且 $\bigcap_{n<\omega}B_n={\infty}\neq\emptyset$。

现在验证条件：

• 对每个 $n$，$T(B_n)=\mathbb{N}\setminus{1,\dots,n}$，它是 $\beta\mathbb{N}$ 中的开集（因为 $\mathbb{N}$ 是离散子空间），而 $\beta\mathbb{N}$ 是极端不连通的，所以 $\overline{T(B_n)}$ 是闭开集（自然是开集），满足条件3。
• $\bigcap_{n<\omega}\overline{T(B_n)}$ 是所有包含每个 $\mathbb{N}\setminus{1,\dots,n}$ 的超滤，也就是所有非主超滤的集合，显然非空，满足条件4。

现在看两个集合：

• $\overline{T(\bigcap_{n<\omega}B_n)} = \overline{T({\infty})} = {p}$（因为 $\beta\mathbb{N}$ 中单点集是闭集）
• $\bigcap_{n<\omega}\overline{T(B_n)}$ 是 $\beta\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$（所有非主超滤的集合），它包含无限多个点，远大于 ${p}$。

显然这里 $\overline{T(\bigcap_{\alpha<\beta}B_\alpha)} \subsetneq \bigcap_{\alpha<\beta}\overline{T(B_\alpha)}$，反向包含不成立。

3. 反向包含成立的充分条件 #

如果加上一些额外条件，反向包含可以成立，比如：

• $T$ 是闭映射：此时 $T(\overline{A}) \subset \overline{T(A)}$ 对任意 $A\subset E$ 成立，结合单调性可以推导出反向包含；
• $\beta$ 是有限序数：当 $\beta$ 有限时，$\bigcap_{\alpha<\beta}B_\alpha$ 是有限个开集的交集（在拓扑空间中有限个开集的交集是开集），此时可以利用闭包的性质结合条件3证明反向包含；
• $F$ 是第一可数空间且 $\beta=\omega$：此时对交集中的任意点 $y\in\bigcap_{n<\omega}\overline{T(B_n)}$，可以找到收敛到 $y$ 的序列，再结合 $B_n$ 的递减性和 $T$ 的连续性，证明 $y$ 属于 $\overline{T(\bigcap_{n<\omega}B_n)}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Chilote