关于修正非最大j值的Clebsch-Gordan系数相位的技术问询

嘿，我来帮你把j=1/2时的CG系数相位问题讲清楚！你已经搞定了j=3/2的所有态，接下来处理j=1/2的态核心是利用正交性加上通用的Condon-Shortley相位约定，一步步来：

第一步：明确态空间的正交关系 #

l=1，s=1/2时，总共有$(2l+1)(2s+1)=3×2=6$个直积态，分成j=3/2（4个态）和j=1/2（2个态）两个正交子空间。也就是说，同一个$m_j$的j=3/2态和j=1/2态必须正交，这是我们构造j=1/2态的基础。

第二步：构造j=1/2, $m_j=1/2$的态 #

设这个态为：
$$\big|1,1/2, 1/2, 1/2 \big\rangle = a\big|1,0\rangle|1/2,1/2\rangle + b\big|1,1\rangle|1/2,-1/2\rangle$$

首先用正交性条件：它和你已经得到的$\big|1,1/2, 3/2, 1/2 \big\rangle = \sqrt{2/3}\big|1,0\rangle|1/2,1/2\rangle + \sqrt{1/3}\big|1,1\rangle|1/2,-1/2\rangle$的内积为0：
$$\langle 1,1/2, 3/2, 1/2 | 1,1/2, 1/2, 1/2 \rangle = \sqrt{2/3}a + \sqrt{1/3}b = 0$$
解这个方程得：$b = -\sqrt{2}a$

接下来归一化：$|a|^2 + |b|^2 = 1$，代入$b=-\sqrt{2}a$得$|a|^2 + 2|a|^2=1$，所以$|a|=1/\sqrt{3}$。这时候$a$的符号就是相位选择点，我们用Condon-Shortley约定来确定：

Condon-Shortley约定的核心是：CG系数$C^{l,s; j,m_j}{m_l,m_s}$满足$(-1)^{l+s-j} C^{s,l; j,m_j}{m_s,m_l} = C^{l,s; j,m_j}{m_l,m_s}$，同时保证升降算符作用时符号一致。对于这个例子，约定要求$C^{1,1/2;1/2,1/2}{0,1/2}=1/\sqrt{3}$（正号），所以$a=1/\sqrt{3}$，$b=-\sqrt{2}/\sqrt{3}$。

最终j=1/2, $m_j=1/2$的态为：
$$\big|1,1/2, 1/2, 1/2 \big\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}\big|1,0\rangle|1/2,1/2\rangle - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\big|1,1\rangle|1/2,-1/2\rangle$$

第三步：构造j=1/2, $m_j=-1/2$的态 #

我们可以用升降算符$j_-=l_-+s_-$作用在上面的态上得到：
$$j_- \big|1,1/2,1/2,1/2\big\rangle = \sqrt{(j+m_j)(j-m_j+1)} \big|1,1/2,1/2,-1/2\big\rangle = \sqrt{(1/2+1/2)(1/2-1/2+1)} \big|...\big\rangle = \big|1,1/2,1/2,-1/2\big\rangle$$

计算左边的升降算符作用：

• $l_-|1,0\rangle = \sqrt{(1+0)(1-0+1)}|1,-1\rangle = \sqrt{2}|1,-1\rangle$
• $s_-|1/2,1/2\rangle = \sqrt{(1/2+1/2)(1/2-1/2+1)}|1/2,-1/2\rangle = |1/2,-1/2\rangle$
• $l_-|1,1\rangle = \sqrt{(1+1)(1-1+1)}|1,0\rangle = \sqrt{2}|1,0\rangle$
• $s_-|1/2,-1/2\rangle = 0$（已经是最小$m_s$）

代入后左边展开：
$$\frac{1}{\sqrt{3}}(\sqrt{2}|1,-1\rangle|1/2,1/2\rangle + |1,0\rangle|1/2,-1/2\rangle) - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}(\sqrt{2}|1,0\rangle|1/2,-1/2\rangle + 0)$$
$$= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}|1,-1\rangle|1/2,1/2\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}}|1,0\rangle|1/2,-1/2\rangle - \frac{2}{\sqrt{3}}|1,0\rangle|1/2,-1/2\rangle$$
$$= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}|1,-1\rangle|1/2,1/2\rangle - \frac{1}{\sqrt{3}}|1,0\rangle|1/2,-1/2\rangle$$

所以j=1/2, $m_j=-1/2$的态为：
$$\big|1,1/2, 1/2, -1/2 \big\rangle = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\big|1,-1\rangle|1/2,1/2\rangle - \frac{1}{\sqrt{3}}\big|1,0\rangle|1/2,-1/2\rangle$$

你可以验证这个态和j=3/2, $m_j=-1/2$的态正交，完全符合要求。

关键总结 #

• 非最大j的态首先利用正交性确定系数的比例关系；
• 相位由Condon-Shortley约定确定，这个约定是学界通用的，保证了CG系数的一致性和升降算符作用的符号统一；
• 构造完一个态后，用升降算符可以快速得到同j的其他态，同时验证相位是否正确。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user267839