一阶线性周期微分方程解的周期性等价条件技术问询

背景铺垫 #

首先明确我们讨论的对象是定义在整个实数轴 $I=(-\infty,\infty)$ 上的一阶线性非齐次微分方程：
$$ y' + p(x)y = r(x) $$
其中 $p(x)$ 和 $r(x)$ 都是周期为 $\zeta$ 的周期函数，即对任意 $x\in I$，有 $p(x+\zeta)=p(x)$，$r(x+\zeta)=r(x)$。另外定义积分函数：
$$ P(x) = \int_{0}^{x} p(t) dt, \quad \forall x\in I $$
这个 $P(x)$ 是求解方程的核心——因为一阶线性方程的通解依赖于积分因子 $e^{P(x)}$，我们先回忆通解公式：
$$ y(x) = e^{-P(x)} \left( C + \int_{0}^{x} r(t)e^{P(t)} dt \right) $$
其中 $C$ 是任意常数，这是后续验证所有结论的基础。

结论1：解 $\phi$ 是周期为 $\zeta$ 的周期函数 $\leftrightarrow$ $\phi(0)=\phi(\zeta)$ #

这个结论是周期解的一个等价判定，我们从双向分别验证：

必要性（$\Rightarrow$） #

如果 $\phi(x)$ 是周期为 $\zeta$ 的周期函数，根据周期函数的定义，对所有 $x\in I$ 都有 $\phi(x+\zeta)=\phi(x)$。令 $x=0$，直接得到 $\phi(\zeta)=\phi(0)$，必要性成立。

充分性（$\Leftarrow$） #

假设 $\phi(0)=\phi(\zeta)$，我们需要证明 $\phi(x+\zeta)=\phi(x)$ 对所有 $x$ 成立。

首先，由通解公式，$\phi(0)=e^{-P(0)}\left(C + \int_{0}^{0}r(t)e{P(t)}dt\right)=C$（因为 $P(0)=0$，积分区间为0时积分值为0）。

而 $\phi(\zeta)=e^{-P(\zeta)}\left(C + \int_{0}^{\zeta}r(t)e{P(t)}dt\right)$，结合 $\phi(0)=\phi(\zeta)$，可得：
$$ C = e^{-P(\zeta)} \left( C + \int_{0}^{\zeta}r(t)e{P(t)}dt \right) $$
整理得：
$$ C\left(e^{P(\zeta)} - 1\right) = \int_{0}^{\zeta}r(t)e{P(t)}dt \tag{1} $$

接下来计算 $\phi(x+\zeta)$：
$$ \phi(x+\zeta) = e^{-P(x+\zeta)} \left( C + \int_{0}^{{x+\zeta}r(t)e}{P(t)}dt \right) $$
由于 $p(t)$ 是周期为 $\zeta$ 的函数，$P(x+\zeta)=P(x) + P(\zeta)$（因为 $\int_{x}^{{x+\zeta}p(t)dt=\int_{0}}{\zeta}p(t)dt=P(\zeta)$）。

把积分拆分为两部分：$\int_{0}^{x+\zeta} = \int_{0}^{\zeta} + \int_{\zeta}^{x+\zeta}$。对第二个积分做换元 $t=s+\zeta$，则 $dt=ds$，且 $r(t)=r(s)$，$P(t)=P(s+\zeta)=P(s)+P(\zeta)$，因此 $e^{P(t)}=e{P(s)+P(\zeta)}=e^{P(\zeta)}e{P(s)}$，代入得：
$$ \int_{\zeta}^{{x+\zeta}r(t)e}{P(t)}dt = e^{P(\zeta)} \int_{0}^{x}r(s)e{P(s)}ds $$

将上述结果代入 $\phi(x+\zeta)$ 的表达式：
$$ \phi(x+\zeta) = e^{-P(x)-P(\zeta)} \left( C + \int_{0}^{\zeta}r(t)e{P(t)}dt + e^{{P(\zeta)}\int_{0}}{x}r(s)e^{P(s)}ds \right) $$
再用式(1)替换 $\int_{0}^{\zeta}r(t)e{P(t)}dt$，得到：
$$ \phi(x+\zeta) = e^{-P(x)-P(\zeta)} \left( C + C\left(e^{P(\zeta)}-1\right) + e^{{P(\zeta)}\int_{0}}{x}r(s)e^{P(s)}ds \right) $$
化简括号内的项：
$$ C + C e^{P(\zeta)} - C + e^{{P(\zeta)}\int_{0}}{x}... = e^{P(\zeta)} \left( C + \int_{0}^{x}r(s)e{P(s)}ds \right) $$
因此：
$$ \phi(x+\zeta) = e^{-P(x)-P(\zeta)} \cdot e^{P(\zeta)} \left( C + \int_{0}^{x}r(s)e{P(s)}ds \right) = e^{-P(x)} \left( C + \int_{0}^{x}r(s)e{P(s)}ds \right) = \phi(x) $$
充分性得证。

结论2：方程存在唯一周期为 $\zeta$ 的周期解 $\leftrightarrow$ $e^{P(\zeta)} \neq 1$ #

这个结论是关于周期解的存在唯一性，我们同样双向验证：

必要性（$\Rightarrow$） #

假设方程存在唯一的周期解，那么从结论1可知，周期解对应满足 $\phi(0)=\phi(\zeta)$ 的常数 $C$。由式(1)：
$$ C\left(e^{P(\zeta)} - 1\right) = \int_{0}^{\zeta}r(t)e{P(t)}dt $$
如果 $e^{P(\zeta)}=1$，那么左边为0，此时分两种情况：

• 若 $\int_{0}^{\zeta}r(t)e{P(t)}dt \neq 0$，则方程无解，不存在周期解；
• 若 $\int_{0}^{\zeta}r(t)e{P(t)}dt = 0$，则任意 $C$ 都满足条件，即所有解都是周期解，与“唯一”矛盾。
  因此必须有 $e^{P(\zeta)} \neq 1$。

充分性（$\Leftarrow$） #

如果 $e^{P(\zeta)} \neq 1$，那么式(1)可以唯一解出 $C$：
$$ C = \frac{\int_{0}^{\zeta}r(t)e{P(t)}dt}{e^{P(\zeta)} - 1} $$
将这个 $C$ 代入通解公式，就得到唯一的周期解。因为通解中的常数 $C$ 唯一确定，所以周期解唯一，充分性得证。

结论3：方程的所有解均为周期为 $\zeta$ 的周期函数 $\leftrightarrow$ $e^{P(\zeta)} = 1$ 且 $\int_{0}^{\zeta}r(t)e{P(t)}dt = 0$ #

这个结论描述了所有解都是周期解的条件，双向验证如下：

必要性（$\Rightarrow$） #

如果所有解都是周期函数，那么对任意常数 $C$，对应的解都满足 $\phi(0)=\phi(\zeta)$，即式(1)对任意 $C$ 成立：
$$ C\left(e^{P(\zeta)} - 1\right) = \int_{0}^{\zeta}r(t)e{P(t)}dt $$
要使这个等式对任意 $C$ 成立，必须系数和右边都为0：

• 系数 $e^{P(\zeta)} - 1 = 0$，即 $e^{P(\zeta)}=1$；
• 右边 $\int_{0}^{\zeta}r(t)e{P(t)}dt = 0$。

充分性（$\Leftarrow$） #

如果 $e^{P(\zeta)}=1$ 且 $\int_{0}^{\zeta}r(t)e{P(t)}dt = 0$，那么式(1)变为 $0\cdot C = 0$，对任意常数 $C$ 都成立。根据结论1，所有满足 $\phi(0)=\phi(\zeta)$ 的解都是周期解，而这里所有通解对应的 $C$ 都满足该条件，因此所有解都是周期为 $\zeta$ 的周期函数，充分性得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jason Moore