基于质因数的计数与‘素基数’表示法：数位规律探究

这是个挺有意思的数论表示问题！咱们先把这个“素数幂数位”系统理清楚，再拆解两个右侧数位的规律：

首先得把这个计数系统的规则掰明白：每个数N的“数位”表示，本质是把N分解成素数幂的乘积，然后用每个素数的幂次作为对应位置的“数字”——这里的“数位位置”对应第n个素数$p_n$：

• 最右侧（个位）对应第1个素数2的幂次（记作$d_1 = v_2(N)$，也就是N中包含的2的因子个数）
• 第二右侧（十位）对应第2个素数3的幂次（记作$d_2 = v_3(N)$，N中包含的3的因子个数）
• 往左依次是5、7、11……这些素数的幂次，数位上的数字就是对应素数在N因数分解中的指数。

对照你给的例子验证下：

• 6 = $2^1×31$ → $d_1=1$，$d_2=1$ → 表示为11
• 9 = $3^2$ → $d_1=0$，$d_2=2$ → 表示为20
• 10 = $2^1×51$ → $d_1=1$，$d_2=0$，$d_3=1$ → 表示为101
  完全对应得上～

这个数位其实就是数的2-adic赋值（$v_2(N)$），规律非常清晰：

• 所有奇数的这个数位都是0：因为奇数不含因子2，比如3→10（个位0）、5→100（个位0）
• 偶数的这个数位等于它包含的2的因子个数：
  • 如果是2的纯幂（2、4、8、16…），这个数位就是幂次本身：2→1（个位1）、4→2（个位2）、8→3（个位3）、16→4（个位4）
  • 如果是偶数但不是2的幂（比如6、10、12、14），这个数位是能整除它的最大2的幂的指数：6=2×3→个位1，12=4×3→个位2，10=2×5→个位1

把你给的2到17的序列里的个位抽出来：1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,4,0，能看到明显的间隔性——奇数位置（对应原数是偶数）的数字是该数的2因子数，偶数位置（原数是奇数）全为0。

这个数位是数的3-adic赋值（$v_3(N)$），规律类似但对应3的因子：

• 不被3整除的数，这个数位都是0：比如2→1（十位0）、4→2（十位0）、5→100（十位0）
• 被3整除的数，这个数位等于它包含的3的因子个数：
  • 如果是3的纯幂（3、9、27…），这个数位就是幂次本身：3→10（十位1）、9→20（十位2）
  • 如果是3的倍数但不是3的幂（比如6、12、15），这个数位是1：6=2×3→十位1，12=4×3→十位1，15=3×5→十位1

同样抽你给的序列里的十位：0,1,0,0,1,0,0,2,0,0,1,0,0,1,0,0，规律是：只有当原数是3的倍数时十位非零，3的纯幂对应十位等于幂次，其他3的倍数十位都是1。

这两个数位的本质都是素数赋值函数，规律完全由数是否包含对应素数的因子、以及包含的因子个数决定——没有什么复杂的“神秘规律”，就是直接对应因数分解里的素数幂次，只是用类似数位的形式呈现出来了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者phdmba7of12