向量场F沿三角形路径的线积分与环流计算技术问询

没问题，我来一步步帮你搞定这个向量场的线积分和环流问题～

(a) 计算$\boldsymbol{F}$沿三角形各边的线积分 #

线积分的核心公式是：对于向量场$\boldsymbol{F}=P\boldsymbol{i}+Q\boldsymbol{j}$，沿曲线$C$的线积分$\int_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = \int_C Pdx + Qdy$，我们通过参数化每条线段来计算：

1. 沿$C_1$（从$(4,0)$到$(-4,0)$）的线积分 #

$C_1$是x轴上的线段，$y=0$，$x$从4到-4。直接观察可知：$xy=0$，$dy=0$，所以线积分简化为：
$$
\int_{C_1} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = \int_{C_1} 0\cdot dx + (x-0)\cdot 0 = 0
$$

2. 沿$C_2$（从$(-4,0)$到$(0,4)$）的线积分 #

$C_2$的方程为$y=x+4$，取参数$t=x$，$t\in[-4,0]$，则$y=t+4$，$dx=dt$，$dy=dt$。代入向量场得：
$\boldsymbol{F}(t) = t(t+4)\boldsymbol{i} + (t-(t+4))\boldsymbol{j} = (t^2+4t)\boldsymbol{i} -4\boldsymbol{j}$

计算积分：
$$
\begin{align*}
\int_{C_2} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} &= \int_{-4}^0 (t^2+4t)dt + (-4)dt \
&= \int_{-4}^0 (t^2+4t-4)dt \
&= \left[\frac{1}{3}t^3 + 2t^2 -4t\right]_{-4}^0 \
&= 0 - \left(-\frac{64}{3} + 32 + 16\right) \
&= -\frac{80}{3}
\end{align*}
$$

3. 沿$C_3$（从$(0,4)$到$(4,0)$）的线积分 #

$C_3$的方程为$y=-x+4$，取参数$t=x$，$t\in[0,4]$，则$y=-t+4$，$dx=dt$，$dy=-dt$。代入向量场得：
$\boldsymbol{F}(t) = t(-t+4)\boldsymbol{i} + (t-(-t+4))\boldsymbol{j} = (-t^2+4t)\boldsymbol{i} + (2t-4)\boldsymbol{j}$

计算积分：
$$
\begin{align*}
\int_{C_3} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} &= \int_0^4 (-t^2+4t)dt + (2t-4)(-dt) \
&= \int_0^4 (-t^2+2t+4)dt \
&= \left[-\frac{1}{3}t^3 + t^2 +4t\right]_0^4 \
&= -\frac{64}{3} + 16 + 16 \
&= \frac{32}{3}
\end{align*}
$$

总结各边线积分结果：

• $\int_{C_1}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = 0$
• $\int_{C_2}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = -\frac{80}{3}$
• $\int_{C_3}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = \frac{32}{3}$

(b) 求$\boldsymbol{F}$绕$C$的环流 #

环流是向量场沿闭合曲线$C$的线积分，$C$的走向为$C_2 \to C_3 \to C_1$（按顶点顺序闭合），因此：
$$
\begin{align*}
\int_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} &= \int_{C_2}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} + \int_{C_3}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} + \int_{C_1}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} \
&= -\frac{80}{3} + \frac{32}{3} + 0 \
&= -16
\end{align*}
$$

验证：用格林公式，$C$为顺时针方向，区域$D$内$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-x$，积分结果为$-16$，和直接计算一致。

(c) 求$\boldsymbol{F}$绕$-C$的环流 #

$-C$表示$C$的反向闭合曲线，反向积分的结果与原积分互为相反数，因此：
$$
\int_{-C}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = -\int_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = -(-16) = 16
$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sun