求证方程y=C₁e^(-kx)+C₂e^(-mx)仅存在一个根（不含无穷极限）

首先得明确两个关键前提，否则方程要么没有根，要么有无穷多根：

• $C_1$ 和 $C_2$ 必须符号相反（即 $C_1C_2 < 0$）：如果二者同号，$y$ 会恒正或恒负，根本不存在实根；
• $k ≠ m$：如果 $k=m$，方程会变成 $(C_1+C_2)e^{-kx}=0$，只有当 $C_1+C_2=0$ 时所有 $x$ 都是根，否则没有根。

正确推导步骤 #

令 $y=0$，先整理方程：
$$C_1e^{-kx} + C_2e^{-mx} = 0$$
移项得到：
$$C_1e^{-kx} = -C_2e^{-mx}$$
因为 $C_1C_2<0$，等式两边都是正数（$C_1$ 和 $-C_2$ 同号），所以可以安全地两边除以 $e^{-mx}$（指数函数恒大于0，除法合法）：
$$C_1e^{(m - k)x} = -C_2$$
再除以 $C_1$（$C_1≠0$，否则原方程退化为 $C_2e^{-mx}=0$，无解）：
$$e^{(m - k)x} = -\frac{C_2}{C_1}$$
由于 $-\frac{C_2}{C_1} > 0$，而指数函数 $e^u$ 是严格单调的（$m-k>0$ 时递增，$m-k<0$ 时递减），对于任意正数输入，存在且仅存在一个 $u=(m-k)x$ 满足等式，对应唯一的 $x$：
$$x = \frac{1}{m - k}\ln\left(-\frac{C_2}{C_1}\right)$$

你之前遇到的问题分析 #

你说用对数时 $x$ 被消去，大概率是这两个原因之一：

1. 没考虑 $C_1$ 和 $C_2$ 符号相反的前提：如果二者同号，$C_1e^{-kx} = -C_2e^{-mx}$ 左右两边符号不同，等式根本不成立，这时候方程本来就没有根，不是 $x$ 被消去；
2. 运算时没有先移项整理就直接取对数：比如直接对原式两边取对数，忽略了等式左边是两个项的和，不能直接拆分对数，导致出现矛盾的结果。

另一种验证思路：变量替换 #

令 $t = e^{-x}$（$t>0$，且 $t$ 和 $x$ 是一一对应的关系），原方程转化为关于 $t$ 的函数：
$$C_1t^k + C_2t^m = 0$$
整理得 $C_1t^k = -C_2t^m$，假设 $k>m$，两边除以 $t^m$（$t>0$）：
$$C_1t^{k-m} = -C_2$$
解得唯一正实根 $t = \left(-\frac{C_2}{C_1}\right)^{\frac{1}{k-m}}$，对应唯一的 $x = -\ln t$，再次验证了根的唯一性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者wjmccann