概率极限求证：已知limₙ→∞P(𝒜ᵣ,ₙ)=0，如何证limₙ→∞P(limᵣ→∞𝒜ᵣ,ₙ)=0？

嘿，我来帮你搞定这个概率极限的问题，咱们一步步拆解来看~

已知对于所有有限的 $r > r_0$，有：
$$\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(\mathcal{A}{r,n})=0,$$
其中 $\mathcal{A}{r,n}$ 是关联某些随机变量的事件，$n$ 和 $r$ 都是确定性变量。

我们需要证明：
$$\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(\lim_{r\to\infty} \mathcal{A}_{r,n})=0.$$
同时想确认这个等式是否恒成立，若成立该如何证明。

结论：这个等式是恒成立的，证明思路如下 #

首先得明确：这里的 $\lim_{r\to\infty} \mathcal{A}{r,n}$ 一般指事件序列的上极限（$\limsup{r\to\infty}\mathcal{A}{r,n}$，即“$\mathcal{A}{r,n}$无限次发生”的事件）或下极限（$\liminf_{r\to\infty}\mathcal{A}{r,n}$，即“$\mathcal{A}{r,n}$最终持续发生”的事件），两种情况我们都能证明结论成立：

情况1：处理上极限事件 $\limsup_{r\to\infty}\mathcal{A}_{r,n}$ #

1. 先回忆概率的基本性质：对于固定n的事件序列 ${\mathcal{A}{r,n}}{r>r_0}$，上极限事件满足：
   $$\limsup_{r\to\infty}\mathcal{A}{r,n} \subseteq \bigcup{r=k}^\infty \mathcal{A}_{r,n}$$
   对任意 $k > r_0$ 都成立（因为上极限是“无限次发生”，必然包含在“从k开始至少发生一次”的事件里）。
2. 根据概率的单调性，可得：
   $$\mathbb{P}(\limsup_{r\to\infty}\mathcal{A}{r,n}) \leq \mathbb{P}\left(\bigcup{r=k}^\infty \mathcal{A}_{r,n}\right).$$
3. 再用概率的次可加性：
   $$\mathbb{P}\left(\bigcup_{r=k}^\infty \mathcal{A}{r,n}\right) \leq \sum{r=k}^\infty \mathbb{P}(\mathcal{A}_{r,n}).$$

现在，对任意给定的 $\epsilon > 0$：

• 因为对每个固定的 $r > r_0$，$\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(\mathcal{A}{r,n})=0$，所以我们可以找到对应的 $N_r$，当 $n > N_r$ 时，$\mathbb{P}(\mathcal{A}{r,n}) < \frac{\epsilon}{2^r}$。
• 取 $N = \max{N_r \mid r \geq k}$，当 $n > N$ 时，$\sum_{r=k}^\infty \mathbb{P}(\mathcal{A}{r,n}) < \sum{r=k}^\infty \frac{\epsilon}{2^r} = \frac{\epsilon}{2^{k-1}}$。

接下来，先让 $k \to \infty$，此时 $\frac{\epsilon}{2^{k-1}} \to 0$；再让 $n \to \infty$，就能得到：
$$\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(\limsup_{r\to\infty}\mathcal{A}_{r,n})=0.$$

情况2：处理下极限事件 $\liminf_{r\to\infty}\mathcal{A}_{r,n}$ #

1. 下极限事件的定义是：
   $$\liminf_{r\to\infty}\mathcal{A}{r,n} = \bigcup{k=r_0+1}^\infty \bigcap_{r=k}^\infty \mathcal{A}{r,n},$$
   它表示“存在某个k，当r≥k时$\mathcal{A}{r,n}$始终发生”，因此对任意 $k > r_0$，有：
   $$\liminf_{r\to\infty}\mathcal{A}{r,n} \subseteq \bigcap{r=k}^\infty \mathcal{A}{r,n} \subseteq \mathcal{A}{k,n}.$$
2. 根据概率的单调性，可得：
   $$\mathbb{P}(\liminf_{r\to\infty}\mathcal{A}{r,n}) \leq \mathbb{P}(\mathcal{A}{k,n}).$$

现在，固定任意 $k > r_0$，当 $n \to \infty$ 时，已知 $\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(\mathcal{A}{k,n})=0$，因此：
$$\limsup{n\to\infty}\mathbb{P}(\liminf_{r\to\infty}\mathcal{A}{r,n}) \leq 0.$$
而概率是非负的，所以必然有：
$$\lim{n\to\infty}\mathbb{P}(\liminf_{r\to\infty}\mathcal{A}_{r,n})=0.$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Susan_Math123