如何证明积分指数不等式？能否借助Jensen不等式推导？

嘿，你这个问题其实完全可以基于Jensen不等式来推导，只要我们分情况讨论并调整一下凸函数和权重的选择就行！我给你一步步拆解整个过程：

先明确Jensen不等式的核心逻辑 #

首先回顾一下：对于凸函数$\phi$和满足$\int_0^t w(s)ds=1$的非负权重函数$w(s)$，有：
$$\phi\left(\int_0^t w(s)f(s)ds\right) \le \int_0^t w(s)\phi(f(s))ds$$
你给出的是权重$w(s)=1/t$的特殊情况，我们要做的就是针对$\max(1,t)$的两种取值，分别适配凸函数和权重。

分情况讨论推导目标不等式 #

原不等式中的$\max(1,t)$是关键，我们分$0 \le t \le1$和$t>1$两种情况处理：

情况1：$0 \le t \le1$ #

此时$\max(1,t)=1$，目标不等式简化为：
$$\exp\left(\int_0^t f(s)ds \right) \le 1+ \int_0^t e^{f(s)}ds$$

1. 先用Jensen不等式处理左边：取凸函数$\phi(x)=e^x$，权重$w(s)=1/t$，代入得：
   $$e^{{\frac{1}{t}\int_0}t f(s)ds} \le \frac{1}{t}\int_0^t e^{f(s)}ds$$
   两边同时取$t$次方（因为$t>0$，不等号方向不变）：
   $$\exp\left(\int_0^t f(s)ds\right) \le \left(\frac{1}{t}\int_0^t e^{{f(s)}ds\right)}t$$
2. 接下来只需证明$\left(\frac{1}{t}\int_0^t e^{{f(s)}ds\right)}t \le 1 + \int_0^t e^{f(s)}ds$：
   令$A = \int_0^t e^{f(s)}ds$（显然$A \ge0$），不等式转化为$\left(\frac{A}{t}\right)^t \le 1+A$。
   • 若$0 \le A <1$，因为$t \le1$，$(\frac{A}{t})^t \le 1 \le 1+A$；
   • 若$A \ge1$，因为$t \le1$，$(\frac{A}{t})^t \le \frac{A}{t} \le A \le 1+A$。
     所以这个不等式必然成立，进而情况1得证。

情况2：$t >1$ #

此时$\max(1,t)=t$，目标不等式简化为：
$$\exp\left(\int_0^t f(s)ds \right) \le 1+ \int_0^t e^{t f(s)}ds$$

1. 同样用Jensen不等式：取凸函数$\phi(x)=e^{t x}$，权重$w(s)=1/t$，代入得：
   $$\exp\left(t \cdot \frac{1}{t}\int_0^t f(s)ds\right) \le \frac{1}{t}\int_0^t e^{t f(s)}ds$$
   化简左边就是$\exp\left(\int_0^t f(s)ds\right)$，所以得到：
   $$\exp\left(\int_0^t f(s)ds\right) \le \frac{1}{t}\int_0^t e^{t f(s)}ds$$
2. 最后一步很直观：因为$t>1$，所以$\frac{1}{t} <1$，对于非负的$A=\int_0^t e^{t f(s)}ds$，显然有$\frac{1}{t}A \le A \le1+A$，因此上面的不等式自然能推导出目标不等式。

整合结论 #

把两种情况的结果结合起来，就完整证明了原不等式：
$$\exp\left(\int_0^t f(s)ds \right) \le 1+ \int_0^t e^{\max(1,t)f(s)}ds$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Guy Fsone