n维射影k-概型到ℙₖⁿ的有限态射是否必满射？需加何条件？

首先直接给结论：不一定。最简单的反例就是取$X$为$\mathbb{P}_k^{n$中的某个真闭子概型（比如一个超平面或者一个点），然后$f$是闭浸入态射——闭浸入本身就是有限态射，但显然$f(X)$只是$\mathbb{P}_k}n$的一个真子集，不是满射。

接下来聊聊需要添加什么条件能让$f$成为满射：

我们可以从有限态射的核心性质入手：有限态射是闭态射（因为有限态射属于proper态射，而proper态射会把闭集映射成闭集），同时$\mathbb{P}_k^n$是不可约的概型。基于这两点，我们可以得到：

• 如果$f$是支配态射（也就是$f(X)$在$\mathbb{P}_k^{n$中稠密），那么$f(X)$作为既稠密又闭的子集，在不可约空间$\mathbb{P}_k}n$里只能是整个空间本身，自然$f$就是满射。

那支配态射这个条件又可以等价转化成哪些更具体的形式呢？

• 从拓扑角度：$f(X)$包含$\mathbb{P}_k^n$的一般点（因为不可约空间的稠密子集必然包含它的一般点，反过来，包含一般点的闭子集在不可约空间里一定是稠密的）。
• 从代数角度：对于$\mathbb{P}_k^n$的任意仿射开集$U=\text{Spec } A$，$f^{-1}(U)=\text{Spec } B$，那么诱导的环同态$A \to B$是整扩张且是单射（整扩张对应有限态射，单射保证了$B$中没有非零元被$A$的非零元零化，对应拓扑上的稠密性）；或者更本质的，诱导的函数域同态$$k(\mathbb{P}_k^n) \to k(X)$$是一个有限域扩张（因为有限态射的函数域扩张本来就是有限的，只要这个同态不是零同态，就对应支配态射）。

另外还有一个更直观的几何条件：如果$f$是有限态射，且**不存在$\mathbb{P}_k^n$的非空闭真子集$Y$，使得$f$可以分解为$X \to Y \to \mathbb{P}_k^{n$（其中第一个态射有限，第二个是闭浸入）**，那么$f$一定是满射——毕竟如果能分解到真闭子集$Y$，那$f$的像最多就是$Y$，不可能满；反过来如果不能这样分解，结合有限态射的闭性，$f$的像只能是整个$\mathbb{P}_k}n$。

最后补充一点：如果$X$本身是不可约的，那支配态射的条件还可以简化成“$f$诱导的函数域扩张$$k(\mathbb{P}_k^n) \to k(X)$$不是零同态”——因为不可约概型的函数域是它的一般点的局部环的分式域，只要这个同态非零，就说明$f$把$X$的一般点映射到了$\mathbb{P}_k^n$的一般点，也就是$f(X)$包含一般点，从而稠密，进而满射。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者windsheaf