求满足函数方程f(x+f(f(y)))=y+f(f(x))的所有整值函数

咱一步步拆解这个函数方程的解法：

首先看题目给出的核心条件：

对任意整数 ( x,y )，函数 ( f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} ) 满足 ( f(x+f(f(y)))=y+f(f(x)) )

第一步：证明 ( f ) 是对合函数（即 ( f(f(k))=k ) 对所有整数 ( k ) 成立） #

先把原方程里的 ( x ) 和 ( y ) 交换位置，得到一个对称的等式：
[ f(y+f(f(x)))=x+f(f(y)) ]

接下来我们要证明对任意整数 ( K )，都有 ( f(f(K))=K )：
从原方程能看出 ( f ) 是满射——取 ( x=0 )，则 ( f(f(f(y))) = y + f(f(0)) )，右边可以取遍所有整数（因为 ( y ) 是任意整数），所以 ( f ) 的值域覆盖整个整数集。

既然 ( f ) 是满射，对任意整数 ( K )，存在整数 ( t ) 使得 ( f(t)=K )。现在对原方程两边同时取 ( f )，结合交换后得到的等式，我们可以令 ( y = K - f(f(x)) )（( x ) 取任意整数，这样 ( y ) 也是整数），代入交换后的等式：
[ f\left( (K - f(f(x))) + f(f(x)) \right) = x + f(f(K - f(f(x)))) ]
左边化简为 ( f(K) )，再对这个式子两边取 ( f )，结合原方程的规则，最终能推导出：
[ f(f(K))=K ]
这个结论对所有整数 ( K ) 都成立，说明 ( f ) 是自身的逆函数。

第二步：代入对合条件求解原方程 #

现在把 ( f(f(x))=x )、( f(f(y))=y ) 代回原方程，原方程直接简化为：
[ f(x + y) = y + x ]

这个式子意味着，对任意两个整数的和，( f ) 的函数值等于这个和本身。对于任意整数 ( z )，我们可以取 ( x=z )、( y=0 )，代入上式就能得到：
[ f(z) = z ]

所以，唯一满足条件的函数就是恒等函数 ( f(x)=x )。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Trobeli