求外心在内部的cyclic凸多边形相关不等式的证明思路或提示

设$A_1A_2…A_n$是外心严格位于其内部的圆内接凸多边形（cyclic convex polygon），$B_1,B_2,…,B_n$分别为边$A_1A_2,A_2A_3,…,A_nA_1$上异于顶点的任意点（即$B_i≠A_k$，对任意$k$）。需证明：
$$\frac{B_1B_2}{A_1A_3}+ \frac{B_2B_3}{A_2A_4}+…+\frac{B_nB_1}{A_nA_2}>1$$

我来给你梳理几个可行的推导方向，你可以从这些角度尝试切入：

• 先攻克特殊情况，再推广到一般n边形：先从n=3的锐角三角形场景入手（外心在内部的圆内接三角形就是锐角三角形），先证明这个基础案例下不等式成立，再尝试用归纳法或者类比思路拓展到任意n≥3的圆内接凸多边形。对于三角形的情况，你可以用参数化分点比例的方法，结合余弦定理把线段长度转化为三角函数表达式，再利用锐角三角形的三角恒等变换完成推导。

• 利用圆内接多边形的弦长公式做转化：因为所有顶点共圆，设外接圆半径为R，任意两点$A_i,A_j$的弦长可表示为$A_iA_j=2R\sin\theta_{ij}$，其中$\theta_{ij}$是弧$A_iA_j$对应的圆周角（即圆心角的一半）。把$B_iB_{i+1}$和$A_iA_{i+2}$都用这个公式替换，消去R后，不等式就转化为关于圆周角和分点参数的三角不等式，接下来可以尝试用三角不等式、均值不等式或者其他三角放缩技巧来完成证明。

• 参数化分点，结合三角形性质放缩：对每条边$A_iA_{i+1}$，设点$B_i$分该边的比例为$t_i\in(0,1)$（即$A_iB_i=t_i\cdot A_iA_{i+1}$，$B_iA_{i+1}=(1-t_i)\cdot A_iA_{i+1}$）。在$\triangle A_{i+1}B_iB_{i+1}$中，利用三角形的基本性质（比如两边之和大于第三边）或者余弦定理写出$B_iB_{i+1}$的表达式，再结合圆内接多边形中$\angle A_iA_{i+1}A_{i+2}$为定值的特点，建立$B_iB_{i+1}$与$A_iA_{i+2}$的大小关系，进而完成对每一项的放缩求和。

• 通过极限情况验证不等式的下界：可以观察当$B_i$趋近于某个顶点时，不等式左边的和的极限值。比如让所有$B_i$都趋近于$A_{i+1}$，此时$B_iB_{i+1}$趋近于$A_{i+1}A_{i+2}$，左边的和变为$\sum_{i=1}^n \frac{A_{i+1}A_{i+2}}{A_iA_{i+2}}$（其中$A_{n+1}=A_1$，$A_{n+2}=A_2$），你可以验证这个和必然大于1，这能帮助你理解不等式的下界特性，辅助推导过程。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Guy Fsone