如何求证$rac{3^{n^2}}{n^8}$增长快于$2^{n\log(n)\log(\log(n))}$？

嘿，我懂你卡在这儿的感觉——其实不用绕到$2^{n2}$和$3^{n2}$的比值（顺便提一句，你之前那个比值的极限判断错了：$\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n2}}{3^{n2}} = \lim_{n \to \infty} (\frac{2}{3})^{n2} = 0$，不是$\frac{2}{3}$哦）。处理这类指数型函数的极限，最直接的技巧就是取对数，把指数上的复杂增长关系转化成我们更熟悉的多项式/对数增长比较，下面一步步来：

步骤1：整理原比值式子 #

首先把原式的比值整理成更清晰的形式：
$$
\text{原比值} = \frac{2^{n \log_2 n \log_2 \log_2 n} \cdot n^8}{3{n^2}}
$$

步骤2：对比值取以2为底的对数 #

因为题目里明确对数底数是2，而且对数函数是单调递增的，所以原比值趋向0等价于它的$\log_2$值趋向$-\infty$。我们计算$\log_2(\text{原比值})$：

• $\log_2\left(2^{n \log_2 n \log_2 \log_2 n}\right) = n \log_2 n \log_2 \log_2 n$（利用$\log_b(b^x)=x$的性质）
• $\log_2(n^8) = 8 \log_2 n$（利用$\log_b(x^k)=k\log_b x$）
• $\log_2\left(3^{n2}\right) = n^2 \log_2 3$（同样用指数对数转换性质）

把这些加起来，得到：
$$
\log_2(\text{原比值}) = n \log_2 n \log_2 \log_2 n + 8 \log_2 n - n^2 \log_2 3
$$

步骤3：分析各项的增长速度 #

当$n \to \infty$时，我们看每一项的增长量级：

• 第一项$n \log_2 n \log_2 \log_2 n$：属于多项式乘双对数增长，最高阶是$n$乘以对数项
• 第二项$8 \log_2 n$：纯对数增长，比第一项慢得多，可以忽略
• 第三项$n^2 \log_2 3$：二次多项式增长，这是三者里增长最快的项，而且前面带有负号

我们可以提取主导项$n^2 \log_2 3$，把式子改写为：
$$
\log_2(\text{原比值}) = n^2 \log_2 3 \left( \frac{n \log_2 n \log_2 \log_2 n}{n^2 \log_2 3} + \frac{8 \log_2 n}{n^2 \log_2 3} - 1 \right)
$$

当$n \to \infty$时：

• $\frac{n \log_2 n \log_2 \log_2 n}{n^2} = \frac{\log_2 n \log_2 \log_2 n}{n} \to 0$（多项式$n$的增长远快于对数项的乘积）
• $\frac{8 \log_2 n}{n^2} \to 0$（同样，二次多项式增长远快于对数）

所以括号内的部分趋向$0 + 0 - 1 = -1$，而$n^2 \log_2 3$趋向$+\infty$，因此整个$\log_2(\text{原比值})$趋向$-\infty$。

步骤4：还原回原极限 #

因为$\log_2(x) \to -\infty$当且仅当$x \to 0$，所以原比值的极限就是0。

总结一下：核心就是利用对数把指数的增长竞争转化为多项式和对数的增长比较，一眼就能看出$n^2$级别的增长远远碾压$n \log n \log \log n$的增长，所以分子的指数函数根本追不上分母的指数函数，极限自然是0。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Chris