求证满足ab=cd的正整数a+b+c+d为合数：奇偶性论证遇阻求助

嘿，你之前用奇偶性的思路方向是对的，但确实碰到了奇偶混合的例外情况——不过别慌，咱们换个更通用的数论技巧，用因数分解+代换就能搞定所有情况，而且逻辑很清晰：

核心思路：通过公约数代换拆解表达式 #

假设正整数 (a,b,c,d) 满足 (ab = cd)，我们可以用公约数来把这四个数用更简洁的变量表示：

• 先设 (a) 和 (c) 的最大公约数为 (m)（即 (gcd(a,c) = m)），那么我们可以把 (a) 和 (c) 写成：
  • (a = m \cdot x)
  • (c = m \cdot y)
    这里的 (x) 和 (y) 是互质的正整数（因为我们已经把最大公约数提出来了）。
• 把 (a) 和 (c) 代入等式 (ab = cd)，得到：

  m · x · b = m · y · d
  

  两边约掉 (m)，就有 (x \cdot b = y \cdot d)。
• 因为 (x) 和 (y) 互质（(gcd(x,y)=1)），根据整除的性质，(x) 必须整除 (d)（因为 (x) 是 (y \cdot d) 的因数，但和 (y) 互质），所以我们可以设 (d = x \cdot k)，其中 (k) 是正整数。
• 把 (d = x \cdot k) 代入 (x \cdot b = y \cdot d)，得到 (x \cdot b = y \cdot x \cdot k)，约掉 (x) 后就有 (b = y \cdot k)。

现在，我们把 (a,b,c,d) 全部用 (m,x,y,k) 表示出来了：

• (a = m x)
• (b = y k)
• (c = m y)
• (d = x k)

计算和并分解因式 #

接下来计算 (a+b+c+d)：

a+b+c+d = m x + y k + m y + x k
        = m(x + y) + k(x + y)
        = (m + k)(x + y)

现在看这个结果：

• (m,x,y,k) 都是正整数，所以 (m + k \geq 1+1=2)，(x + y \geq 1+1=2)（因为 (x,y) 是互质的正整数，至少为1）。
• 这意味着 (a+b+c+d) 是两个大于等于2的正整数的乘积，所以它必然是合数（合数的定义就是除了1和自身外还有其他正因数）。

验证特殊情况 #

比如你之前碰到的3偶1奇的情况：假设 (a=2)，(b=18)，(c=6)，(d=6)（满足 (218=66=36)），和是 (2+18+6+6=32)，用我们的方法：

• (gcd(2,6)=2=m)，所以 (x=1)，(y=3)
• 由 (x b = y d) 得 (118=3d) → (d=6=1*k) → (k=6)
• 那么 (b=3*6=18)，符合条件
• 和为 ((2+6)(1+3)=8*4=32)，确实是合数。

再比如全奇数的情况：(a=3)，(b=5)，(c=1)，(d=15)（(35=115=15)），和是 (3+5+1+15=24)，分解为 ((1+5)(3+1)=6*4=24)，也是合数。

这样不管奇偶组合如何，这个方法都能证明和是合数，完美解决你之前的困境～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gerard L.