是否存在含不可数个临界值的ℝ→ℝ函数？含C^∞光滑函数情形

问题1：是否存在函数$f\colon \Bbb R\to \Bbb R$，其临界值集合为不可数集？ #

答案是肯定的，最经典的例子就是**康托函数（魔鬼阶梯）**的延拓版本。

康托函数本身是定义在$[0,1]$上的单调递增连续函数，它在康托集的补集（所有被挖去的开区间）上导数都为0，而它的像集是整个$[0,1]$——也就是说，$[0,1]$里的每一个值都是它的临界值（要么是导数为0的点的函数值，要么是连续单调函数的极限值）。我们把这个函数延拓到整个$\Bbb R$：在$(-\infty,0)$上恒取0，在$(1,+\infty)$上恒取1，这样得到的$f:\Bbb R\to\Bbb R$的临界值集合还是$[0,1]$，显然是不可数集。

问题2：是否存在$C^\infty$类函数$f\colon \Bbb R\to \Bbb R$，使得集合$D={y\in \operatorname{Im}(f):\exists x\in f^{-1}(y)\text{ with }f'(x)=0}$为不可数集？ #

首先先提一下背景：你提到的萨德定理确实告诉我们，这个集合$D$的勒贝格测度一定是0，所以我们要找的是测度为0但不可数的$D$——而这样的集合是存在的，比如康托集，这就给了我们构造的方向。

答案同样是肯定的，构造思路可以利用康托集的结构结合光滑bump函数：

• 取不可数的测度0集，比如标准康托集$C\subset[0,1]$。
• 对于康托集中的每个点$c$，我们可以在$\Bbb R$上找到一个对应的点$x_c$，然后在$x_c$附近构造一个光滑的bump函数（即支集紧、无穷次可导的函数），使得这个bump函数在$x_c$处取到局部极值，且极值恰好为$c$。
• 调整这些bump函数的支集，让它们互不重叠，这样把所有这些bump函数叠加起来，再加上一个光滑的“基底”函数（比如恒0函数，或者调整整体保证像集包含这些极值），最终得到的$f$就是$C^\infty$的，并且它的临界值集合$D$包含整个康托集$C$——而$C$是不可数的，满足要求。

另外你提到构造$D$稠密的此类函数不难，其实本质上类似，只是把极值点的函数值调整为稠密的可数集，而这里我们需要的是不可数的测度0集，用康托集就完美契合。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者pancini