2520阶群是否必含阶至少为12的阿贝尔子群？

先明确前提：2520的素因子分解是 (2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7)，我们分两种核心情况分析，覆盖所有可能的2520阶群：

当G是可解群时 #

• 根据Hall定理，可解群必然存在Hall {5,7}-子群。这个子群的阶是 (5 \times 7 = 35)，而35是两个不同素数的乘积——这类群一定是循环群（当然属于阿贝尔群），35远大于12，完全满足要求。

当G是单群时 #

• 2520阶的单群只有交错群 (A_7)（它同时也是唯一的2520阶完全群）。那 (A_7) 里有没有符合条件的阿贝尔子群？答案是肯定的：
  我们可以构造一个12阶的阿贝尔子群，比如取三个两两交换的偶置换：
  • 2阶元 ((1\ 2)(3\ 4))
  • 2阶元 ((1\ 3)(2\ 4))
  • 3阶元 ((5\ 6\ 7))
    这三个元素两两交换，生成的子群是它们的直积，阶为 (2 \times 2 \times 3 = 12)，完全符合“阶至少为12”的条件。

结论 #

不管G是可解群还是单群，2520阶群G必然包含一个阶至少为12的阿贝尔子群。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者the_fox